Если X / Y имеет такое же распределение, как Z, верно ли, что X имеет такое же распределение, как YZ?

Пусть X, Y и Z три независимых случайных величины. Если X / Y имеет такое же распределение, как Z, верно ли, что X имеет такое же распределение, как YZ?

probability ratio

— user2808118
источник

Нет. Рассмотрим случай, когда и являются стандартной нормальной, а - стандартной случайной величиной Коши (все три независимы в соответствии с предпосылкой вопроса). Хорошо известно, что имеет стандартное распределение Коши (такое же, как у ), но не имеет стандартного нормального распределения (поскольку не существует). Так что вам нужны дополнительные ограничения на (см. Ответ Silverfish), чтобы иметь хоть какую-то надежду найти примеры, где результат может иметь место.

X

$X$

Y

$Y$

Z

$Z$

X / Y

$X/Y$

Z

$Z$

Y Z

$YZ$

E [Y Z]

$E[YZ]$

X, Y, Z

$X, Y, Z$

— Дилип Сарвате

@Dilip Я решил использовать это как свой контрпример, но уклонялся от этого, потому что я не мог придумать краткое объяснение того, почему не существует. Если у вас есть аккуратный аргумент, вы должны опубликовать его как ответ, я думаю. (Как вы, вероятно, можете сказать, я совершенно сознательно избегал нулей и бесконечностей в своем ответе, поэтому я очень хотел избежать чего-то, что даже не бесконечно!)

E [Y Z]

$E[YZ]$

— Silverfish

@Dilip Так как - Коши, поэтому не существует, мне кажется, что условие не выполняется, и утверждение ничего не говорит о . Для сравнения: если - это Коши, а имеет вырожденное распределение , то кажется, что существует (и равно нулю), даже если нет.

Z

$Z$

E [Z]

$E[Z]$

E [Y Z]

$E[YZ]$

Z

$Z$

Y

$Y$

P (Y = 0) = 1

$P(Y=0)=1$

E [Y Z]

$E[YZ]$

E [Z]

$E[Z]$

— Серебряная рыба

Один из самых простых и, возможно, наиболее интуитивных возможных контрпримеров состоит в том, чтобы позволить и быть любым распределением с некоторой вероятностью не быть в (так как являются фиксированными точками и и проблематичны в определении в любом случае). Тогда , очевидно , не является постоянной , а есть.

X = 1

$X=1$

Y

$Y$

{- 1, 0, 1, \pm \infty}

$\{-1,0,1,\pm\infty\}$

\pm 1

$\pm 1$

y \to 1 / y

$y\to 1/y$

0, \infty,

$0,\infty,$

- \infty

$-\infty$

X / Y

$X/Y$

Y Z

$YZ$

X

$X$

— whuber

@Silverfish определяется, только если конечно. Но посколькуинезависимые случайные величины. Но, поскольку не является конечным и , мы заключаем, что не является конечным (нет проблем со значением ). Следовательно, не определено (или не существует), тогда как определенно существует и имеет значение .

E [Y Z]

$E[YZ]$

E [| Y Z |]

$E[|YZ|]$

E [| Y Z |] = E [| Y | \cdot | Z |] = E [| Y |] E [| Z |]

$E[|YZ|]=E[|Y|\cdot |Z|]=E[|Y|]E[|Z|]$

| Y |

$|Y|$

| Z |

$|Z|$

E [| Z |]

$E[|Z|]$

E [| Y |] > 0

$E[|Y|]>0$

E [| Y Z |]

$E[|YZ|]$

0 \times \infty

$0\times\infty$

E [Y Z]

$E[YZ]$

E [X]

$E[X]$

0

$0$

— Дилип Сарвате

Это может случится. Например, если , и являются независимыми переменными Радемахера , то есть они могут быть равны 1 или -1 с равной вероятностью. В этом случае также Радемахер, так что имеет такое же распределение, , в то время как является Радемахер поэтому имеет такое же распределение , как . $X$ $Y$ $Z$ $X/Y$ $Z$ $YZ$ $X$

Но это не произойдет в целом. До тех пор, пока существуют средства, необходимые (но не достаточные) условия для того, чтобы имел то же распределение, что и , и чтобы имел то же распределение, что и , были бы: $X/Y$ $Z$ $YZ$ $X$

E (Z) = E (X Y^{- 1}) = E (X) E (Y^{- 1})

$\mathbb{E}(Z) = \mathbb{E}(XY^{-1}) = \mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y^{-1})$

E (X) = E (Y Z) = E (Y) E (Z)

$\mathbb{E}(X) = \mathbb{E}(YZ) = \mathbb{E}(Y)\mathbb{E}(Z)$

Вторые равенства следуют за независимостью. Подстановка дает:

E (Z) = E (Y) E (Z) E (Y^{- 1})

$\mathbb{E}(Z) = \mathbb{E}(Y) \mathbb{E}(Z) \mathbb{E}(Y^{-1})$

Если то или, что то же самое, до тех пор, пока , $\mathbb{E}(Z) \neq 0$ $1 = \mathbb{E}(Y) \mathbb{E}(Y^{-1})$ $\mathbb{E}(Y) \neq 0$

E (Y^{- 1}) = \frac{1}{E (Y)}

$\mathbb{E}(Y^{-1}) = \frac{1}{\mathbb{E}(Y)}$

Это не правда в целом. Например, пусть - переводная переменная Бернулли, которая принимает значения или с равной вероятностью, поэтому . Тогда принимает значения или с равной вероятностью, поэтому . (Я оставляю это на воображение читателя, какой драматический эффект это имело бы использовать непереведенный $Y$ $1$ $2$ $\mathbb{E}(Y)=1.5$ $Y^{-1}$ $1$ $0.5$ $\mathbb{E}(Y^{-1})=0.75 \neq 1.5^{-1}$ Вместо этого переменная Бернулли, или одна переведена незначительно, поэтому она очень близка к 0 с вероятностью наполовину. Обратите внимание, что в примере Rademacher здесь не было никаких проблем, потому что все три ожидания были нулевыми, отметим далее, что это условие не является достаточным.)

Мы можем исследовать, как этот терпит неудачу, создав более явный контрпример. Для простоты предположим, что является масштабированным Бернулли и принимает значения или с равной вероятностью. Тогда равно , , или с равной вероятностью. Ясно, что , и . Пусть - независимая переменная, взятая из того же распределения. Что такое распределение ? Это так же, как распределение $Y$ $X$ $0$ $2$ $X/Y$ $0/1$ $0/2$ $2/1$ $2/2$ $P(X/Y=0)=\frac{1}{2}$ $P(X/Y=1)=\frac{1}{4}$ $P(X/Y=2)=\frac{1}{4}$ $Z$ $YZ$ $X$ ? Нам даже не нужно отрабатывать полное распределение вероятностей, чтобы понять, что этого не может быть; достаточно помнить, что может быть только нулем или двумя, в то время как может принимать любое значение, которое вы можете получить, умножив один из на один из . $X$ $YZ$ $\{1,2\}$ $\{0,1,2\}$

Если вам нужна мораль для этой истории, попробуйте поиграться с масштабированными и переведенными переменными Бернулли (включая переменные Радемахера). Они могут быть простым способом построения примеров - и контрпримеров. Это помогает иметь меньше значений в опорах, так что распределения различных функций переменных могут быть легко определены вручную.

Еще более экстремально мы можем рассмотреть вырожденные переменные, которые имеют только одно значение в своей поддержке. Если и являются вырожденными (с ) , то будет тоже, и поэтому распределение будет соответствовать значению . Как и мой пример с Радемахером, это ситуация, показывающая, что ваши условия могут быть выполнены. Если вместо этого, как предполагает @whuber в комментариях, мы допустим, что вырождается с , но допускаем изменение , то построить еще более простой контрпример очень легко. Если может принимать два конечных ненулевых значения - и $X$ $Y$ $Y\neq 0$ $Z=X/Y$ $YZ$ $Z$ $X$ $P(X=1)$ $Y$ $Y$ $a$ $b$ , скажем, с положительной вероятностью, тогда и, следовательно, , могут принимать значения и . Теперь поэтому имеет в его поддержку, поэтому он не может следовать тем же распределение, . Это похоже на мой аргумент о том, что опоры не могут совпадать в моем исходном контрпримере, но проще. $X/Y$ $Z$ $a^{-1}$ $b^{-1}$ $YZ$ $ab^{-1} \neq 1$ $X$

— тарпон
источник

$\newcommand\E{\mathbb{E}}$ Предположим, что . Тогда, поскольку является выпуклой функцией на , неравенство Дженсена говорит нам, что условие выполняется только в том случае, если вырожден. То же самое верно, если , и в этом случае 1 / x вогнутый. Поэтому, если имеет фиксированный знак, но не вырожденный, необходимое условие не может быть выполнено.

Pr (Y > 0) = 1

$\Pr(Y > 0) = 1$

1 / x

$1/x$

(0, \infty)

$(0, \infty)$

E Y = E \frac{1}{Y}

$\E Y = \E \frac{1}{Y}$

Y

$Y$

Pr (Y < 0) = 1

$\Pr(Y < 0) = 1$

Y

$Y$

— Дугал

@Dougal Спасибо за упоминание этого. Когда я писал, я думал о включении, но чувствовал, что обсуждение знаков и т. Д. Сломает поток. Я думал о том, чтобы просто сказать «увидеть неравенство Дженсена» и добавить википедию или аналогичную ссылку, но потом решил, что это не очень хорошая идея, потому что я не предварял ее условиями выпуклости, которых пытался избежать. Вместо этого я посмотрел, есть ли где-то (возможно, поток CV), где вообще обсуждается ожидание нелинейных функций RV, что, естественно, привело бы любопытного читателя к Дженсену, но я ничего не заметил Мне еще нравится

— Серебряная рыба

@Dougal Это один из тех случаев, когда между красивыми простыми контрпримерами есть некоторое столкновение - что-то очень легко вычисляемое, так что тот, кто трудился по неверному пониманию, сразу же видит, что это невозможно или неправильно - и более тщательное общее лечение, которое на самом деле помогает покажите, в каких условиях что-то действительно может быть (но для некоторых читателей может быть слишком трудно следовать, и поэтому они менее убедительны). RV на показывает даже новичку, почему не работает так же хорошо, как но Дженсен говорит гораздо больше о том, почему!

{1, 2}

$\{1,2\}$

E (1 / Y)

$E(1/Y)$

E (a Y + b)

$E(aY+b)$

— Серебряная рыба

Да, хорошая мысль, хотя мне любопытно, когда возникнут эти (казалось бы, естественные) отношения, которые кажутся весьма ограниченными. Обратите внимание, что в моем комментарии выше я неправильно написал условие: это, конечно, должно быть .

\frac{1}{\E Y} = \E \frac{1}{Y}

$\frac{1}{\E Y} = \E \frac{1}{Y}$

— Дугал

@ Дугал Я думаю, что за пределами вырожденных RV такие отношения не так «естественны», как они впервые появляются. Предположим, что имеет такое же распределение, как а имеет такое же распределение, что и , и все три независимы ... Опять же, в общем, это не так.

Z

$Z$

X + Y

$X+Y$

Y

$Y$

Z - X

$Z-X$

— Серебряная рыба