Что такое асимптотическая ковариационная матрица?

Верно ли, что асимптотическая ковариационная матрица равна ковариационной матрице оценок параметров? Если нет, то что это? И в чем разница между ковариационной матрицей и асимптотической ковариационной матрицей в этом случае? Заранее спасибо!

covariance asymptotics

— Лесли
источник

Асимптотическая ковариационная матрица является приближением к ковариационной матрице выборочного распределения оценок параметров, которая улучшается по мере увеличения числа выборок, на которых основаны оценки параметров.

— tchakravarty

Для данного iid-образца из параметрического распределения с плотностью , где является неизвестным параметром, оценщик имеет распределение со средним и дисперсионно-ковариационной матрицей . Таким образом, является дисперсионно-ковариационной матрицей в том смысле, что $(X_1,\ldots,X_N)$ $f_\theta(\cdot)$ $\theta$ $\hat{\theta}(X_1,\ldots,X_N)$ $\mu_n(\theta)$ $\Sigma_n(\theta)$ $\Sigma_n(\theta)$ $\hat{\theta}(X_1,\ldots,X_N)$

E_{θ} [{\hat{θ} (X_{1}, \dots, X_{N}) - μ_{n} (θ)} {\hat{θ} (X_{1}, \dots, X_{N}) - μ_{n} (θ)}^{T}] = Σ_{n} (θ) .

$\mathbb{E}_\theta\left[ \left\{\hat{\theta}(X_1,\ldots,X_N)-\mu_n(\theta)\right\} \left\{\hat{\theta}(X_1,\ldots,X_N)-\mu_n(\theta)\right\}^{\text{T}} \right] = \Sigma_n(\theta)\,.$

Теперь, если является сходящимся оценщиком и если существует предельное распределение для , это означает, что существует последовательность увеличивается до , например, , так что где обозначает распределение, индексированное и предельное распределение lhs. Это предельное распределение имеет дисперсию которая называется асимптотической дисперсией. $\hat{\theta}(X_1,\ldots,X_N)$ $\hat{\theta}(X_1,\ldots,X_N)$ $(\phi_n)$ $+\infty$ $\phi_n=\sqrt{n}$

ϕ_{n} {\hat{θ} (X_{1}, \dots, X_{N}) - μ_{n} (θ)} \overset{dist}{⟶} G_{θ}

$\phi_n\left\{\hat{\theta}(X_1,\ldots,X_N)-\mu_n(\theta)\right\}\stackrel{\text{dist}}{\longrightarrow} G_\theta$

G_{θ}

$G_\theta$

θ

$\theta$

Ξ_{θ}

$\Xi_\theta$

— Сиань
источник

Почему вы говорите "например, "? Не должно ли это быть всегда ?

ϕ_{n} = \sqrt{n}

$\phi_n=\sqrt n$

\sqrt{n}

$\sqrt n$

— user56834

Существуют оценки, которые сходятся быстрее или медленнее, чем как, например, единая оценка .

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

— Сиань