Как найти

Как я могу решить это? Мне нужны промежуточные уравнения. Может быть, ответ $-tf(x)$ .

\frac{d}{d t} [\int_{t}^{\infty} x f (x) d x]

$\frac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)\,dx \right ]$

$f(x)$ - функция плотности вероятности.

То есть $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = 0$ и $\lim\limits_{x \to \infty} F(x) = 1$

источник: http://www.actuaries.jp/lib/collection/books/H22/H22A.pdf с.40

Попробуем промежуточные уравнения ниже:

\frac{d}{d t} [\int_{t}^{\infty} x f (x) d x] = \frac{d}{d t} [{[x F (x)]}_{t}^{\infty} - \int_{t}^{\infty} F (x) d x] ? ?

$\frac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)\,dx \right ] = \frac{d}{dt} \left [\left [xF(x) \right ]_t^\infty - \int_t^\infty F(x)\,dx \right ]??$

\frac{d}{d t} \int_{t}^{a} f (x) d x = - \frac{d}{d t} \int_{a}^{t} f (x) d x = - \frac{d}{d t} (F (t) - F (a)) = F^{'} (t) = f (t)

$\frac{d}{dt} \int_t^a f(x)\,dx = -\frac{d}{dt} \int_a^t f(x)\,dx = -\frac{d}{dt} (F(t)-F(a))=F'(t)=f(t)$

— Хироаки Мачида
источник

Вы имеете в виду ? ВозможноИли вы имеете в виду ?

\frac{d}{d t} [\int_{t}^{\infty} x f (x) d x]

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)~dx \right ]$

- t f (t) .

$-tf(t).$

\frac{d}{d t} [\frac{\int_{t}^{\infty} x f (x) d x}{1 - F (t)}]

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\dfrac{\int_t^\infty xf(x)~dx}{1-F(t)} \right ]$

— Генри

Используйте фундаментальную теорему исчисления

— Генри

Рассмотрим примитив из , тогда легко вывести.

G

$G$

x \mapsto x f (x)

$x \mapsto xf(x)$

\int_{t}^{\infty} x f (x) d x = G (\infty) - G (t)

$\int_t^\infty xf(x)dx=G(\infty)-G(t)$

— Стефан Лоран

Пожалуйста, добавьте self-studyтег и прочитайте его тег вики .

— Glen_b

Если вы готовитесь к экзамену, вам не нужно давать полное решение. Вопросы для самостоятельного изучения предназначены для того, чтобы человек, задающий вопрос, смог решить проблему самостоятельно.

— Сиань

Ответы:

По определению, производная ( если она существует ) является пределом отношения разностей

\frac{1}{h} (\int_{t + h}^{\infty} x f (x) d x - \int_{t}^{\infty} x f (x) d x) = - \frac{1}{h} \int_{t}^{t + h} x f (x) d x

$\frac{1}{h}\left(\int_{t+h}^\infty x f(x) dx - \int_t^\infty x f(x) dx\right) = -\frac{1}{h}\int_t^{t+h} x f(x) dx$

как . $h\to 0$

Предполагая, что непрерывна в интервале для достаточно малого , также будет непрерывной в течение этого интервала. Тогда теорема о среднем значении утверждает, что между и существует некоторый для которого $f$ $[t, t+h)$ $h\gt 0$ $x f$ $h^{*}$ $0$ $h$

- (t + h^{*}) f (t + h^{*}) = - \frac{1}{h} \int_{t}^{t + h} x f (x) d x .

$-(t+h^{*})f(t+h^{*}) = -\frac{1}{h}\int_t^{t+h} x f(x) dx.$

Так как , то обязательно , и непрерывность вблизи означает, что левая часть имеет предел, равный . $h\to 0$ $h^{*}\to 0$ $f$ $t$ $-t f(t)$

(Приятно видеть, что этот анализ не требует рассуждений о существовании исходного неправильного интеграла .) $\int_t^\infty x f(x) dx$

Однако даже когда распределение имеет плотность , эта плотность не обязательно должна быть непрерывной. В точках разрыва коэффициент разности будет иметь разные левый и правый пределы: производная там не существует. $f$

Это не тот вопрос, который можно отрицать как некую тайную математическую «патологию», которую практикующие могут игнорировать. PDF-файлы многих распространенных и полезных дистрибутивов имеют точки разрыва. Например, равномерное распределение имеет разрывные PDF в и ; распределение Gamma имеет разрывную PDF в при (которое включает в себя вездесущее экспоненциальное распределение и некоторые из распределений); и так далее. Поэтому важно не утверждать без тщательной квалификации, что ответом является просто : это было бы ошибкой. $(a,b)$ $a$ $b$ $(a,b)$ $0$ $a\le 1$ $\chi^2$ $-t f(t)$

— Whuber
источник

Очень маленькое дополнение: Есть случаи, когда интеграл дифференцируем, даже когда не является непрерывным. Пусть для и для и для . Тогда вблизи 0 для и 0 для , что вполне дифференцируемо при .

f (x)

$f(x)$

f (x) = 0

$f(x)=0$

x \leq 0

$x\leq 0$

f (x) = 1

$f(x)=1$

0 < x < 1

$0<x<1$

f (x) = 0

$f(x)=0$

x \geq 2

$x\geq 2$

F (x) = x^{2} / 2

$F(x)=x^2/2$

x \geq 0

$x\geq 0$

x < 0

$x<0$

x = 0

$x=0$

— Алекс Р.

Алекс возле , , а не . Рассмотрим основную теорему исчисления.

0^{+}

$0^{+}$

F (x) = x

$F(x)=x$

x^{2} / 2

$x^2/2$

— whuber

Извините за путаницу! Я определяю .

F (x) := \int_{- \infty}^{x} t f (t) d t

$F(x) := \int_{-\infty}^x tf(t)dt$

— Алекс Р.

@Alex Твоя подынтегральная функция непрерывна вблизи нуля, поэтому я не вижу, какой пример ты представляешь или что он показывает.

t f (t)

$tf(t)$

— whuber

Великий вывод (+1) - может быть ничего не стоит, что этот результат является случаем интегрального правила Лейбница .

— Бен - Восстановить Монику

Решено ...

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)~dx \right ]$ $= \displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [G(\infty)-G(t) \right ]$ $= \displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [G(\infty) \right ] - \dfrac{d}{dt} \left [G(t) \right ]$ $= \displaystyle 0-tf(t)$

Спасибо вам всем!!!

— Хироаки Мачида
источник

Что такое функция ? Почему производная от равна 0?

G (t)

$G(t)$

G (\infty)

$G(\infty)$

— Владислав Довгальец