Являются ли вероятности ошибок типа I и II отрицательно коррелированными?

В классе элементарной статистики, для которого я был ТА, профессор заявил, что с увеличением вероятности ошибки типа I вероятность ошибки типа II уменьшается, и обратное утверждение также верно. Так что это наводит меня на мысль, что .β ρ α , β < $\alpha$$\beta$$\rho_{\alpha, \beta} < 0$

Но как можно доказать это для проверки общей гипотезы? Это утверждение вообще верно?

Я мог бы попробовать конкретный случай (скажем, и ), но, очевидно, этого недостаточно для решения этого вопроса.H 1 : μ < μ $H_0: \mu = \mu_0$$H_1: \mu < \mu_0$

Эти величины ( и β ) не являются случайными величинами, поэтому я не решаюсь говорить об их корреляции Пирсона; Я не уверен, в каком смысле это применимо.$\alpha$$\beta$

Эти два понятия отрицательно связаны в том смысле, что, в общем и целом (но см. Ниже *), и при прочих равных условиях (например, размер выборки и размер эффекта, при котором вы вычисляете ) - если вы измените α , то β переместит противоположное направление (в частности, в типичных ситуациях β является функцией α ; укажите достаточное количество для определения β, и оно будет зависеть от α - и в большинстве разумных ситуаций это соотношение будет - то, что вы хотели бы использовать в актуальный тест - быть отрицательно зависимым).$\beta$$\alpha$$\beta$$\beta$$\alpha$$\beta$$\alpha$

Рассмотрим, например, некоторую кривую мощности. Перемещение приведет к увеличению или уменьшению кривой мощности ( 1 - β ), поэтому β в некоторой точке кривой (которая является расстоянием между кривой и 1) уменьшается с увеличением α . Вот пример с двусторонним тестом (скажем, t-тест).$\alpha$$1-\beta$$\beta$$\alpha$

Случай с одним хвостом похож, но вы бы сфокусировались на правой половине рисунка выше (две кривые в левой половине рисунка сместились бы к нулю)

---

* в некоторых ситуациях это не обязательно должно быть так. Рассмотрим тестирование униформы (0,1) с помощью теста Колмогорова-Смирнова.

Давайте рассмотрим возможность того, что вместо этого у нас есть униформа на † (или даже любое распределение с некоторой вероятностью вне единичного интервала).$(0,1+\epsilon)$ $^\dagger$

Если я наблюдаю значение, которое не лежит в (0,1), критерий Колмогорова-Смирнова не обязательно отклоняет нуль. Но я могу сделать второй тест (назовем его тестом KS *), который похож на Колмогорова-Смирнова, за исключением того, что, когда мы наблюдаем значение вне (0,1), мы также отклоняем нуль, независимо от того, является ли обычная статистика достигает критического значения.

Тогда для любой альтернативы , которая имеет любую вероятность снаружи (0,1) мы снизили частоту ошибок типа II (с , что для обычного теста KS) без изменений вообще.$\alpha$

(как правило, в этом случае не рекомендуется использовать KS, поэтому, если вы знаете, что это возможно, вам нужно тщательно продумать альтернативы)$\dagger$

Обозначим через наблюдение с плотностью f 0 ( x ) или f 1 ( x ) согласно гипотезе H 0 или H 1 верно. Пусть Γ 0 и Γ 1 обозначают области решения . Таким образом, Γ 0 ∩ Γ 1 = ∅ , Γ 0 ∪ Γ 1 = R и решение состоит в том, что H i истинно тогда и только тогда, когда X $X$$f_0(x)$$f_1(x)$$H_0$$H_1$$\Gamma_0$$\Gamma_1$$\Gamma_0 \cap \Gamma_1 = \emptyset$$\Gamma_0 \cup \Gamma_1 = \mathbb R$$H_i$ . Тогда вероятности ошибок типа I и типа II равны P ( ошибка типа I $X \in \Gamma_i$ Рассмотрим дведругие областипринятия решенийΓ ′ 0 иΓ ′ 1 такие, чтоΓ1⊂Γ ′ 1 иΓ ′ 0 ⊂Γ0. Теперь ∫Γ ′ 1 f0(x

$$\begin{align} P(\text{Type I error}) &= \int_{\Gamma_1}f_0(x)\,\mathrm dx\tag{1}\\ P(\text{Type II error}) &= \int_{\Gamma_0}f_1(x)\,\mathrm dx.\tag{2} \end{align}$$ $\Gamma_0^\prime$$\Gamma_1^\prime$$\Gamma_1 \subset \Gamma_1^\prime$$\Gamma_0^\prime \subset \Gamma_0$ поскольку интеграл по большему набору, это означает, что новое правило принятия решения имеет большую вероятность ошибки I типа. Но отметим также, что ∫ Γ ′ 0 f 1 ( x $$\int_{\Gamma_1^\prime}f_0(x)\,\mathrm dx \geq \int_{\Gamma_1}f_0(x)\,\mathrm dx$$ потому что интеграл по меньшему набору, и поэтому новое правило принятия решения имеет меньшую вероятность ошибки типа II. $$\int_{\Gamma_0^\prime}f_1(x)\,\mathrm dx \leq \int_{\Gamma_0}f_1(x)\,\mathrm dx$$

$\alpha$$\beta$$\alpha$$\beta$

$\alpha$$\beta$