Для каких распределений существует объективная оценка в закрытой форме для стандартного отклонения?

Для нормального распределения существует объективная оценка стандартного отклонения, определяемая как:

Причина, по которой этот результат не так хорошо известен, по-видимому, состоит в том, что это в значительной степени курьез, а не вопрос какого-либо большого значения . Доказательство покрыто на этой теме ; он использует ключевое свойство нормального распределения:

Оттуда, немного поработав, можно принять ожидание , апутем выявления этого ответа как кратноесг, мы можем вывести результат для σ несмещенного.$\mathbb{E}\left( \sqrt{\sum_{k=1}^n(x_i-\bar{x})^2} \right)$$\sigma$$\hat{\sigma}_\text{unbiased}$

Это оставляет меня любопытным, какие другие распределения имеют непредвзятую оценку стандартного отклонения в закрытой форме. В отличие от объективной оценки дисперсии, это явно зависит от распределения. Более того, было бы непросто адаптировать доказательство, чтобы найти оценки для других распределений.

Распределения с нормальным перекосом обладают некоторыми хорошими свойствами распределения для своих квадратичных форм, которые мы обычно используем в качестве свойства нормального распределения (так как нормаль - это особый тип косо-нормального распределения), так что, возможно, это будет не так сложно распространить этот метод на них. Но для других распределений может показаться, что требуется совершенно другой подход.

Существуют ли другие распределения, для которых известны такие оценки?

Хотя это напрямую не связано с вопросом, существует статья Питера Биккеля и Эриха Лемана 1968 года, в которой говорится, что для выпуклого семейства распределений существует несмещенная оценка функционала q ( F ) (для размера выборки). n достаточно большой) тогда и только тогда, когда q ( α F + ( 1 - α ) G ) является полиномом от 0 ≤ α ≤ $F$$q(F)$$n$$q(\alpha F+(1-\alpha)G)$$0\le \alpha\le 1$, Эта теорема здесь не применима к задаче, поскольку набор гауссовых распределений не является выпуклым (смесь гауссианов не является гауссовой).

Расширение результата в вопросе заключается в том, что любая степень стандартного отклонения может быть объективно оценена при условии, что имеется достаточно наблюдений, когда α < 0 . Это следует из результата $\sigma^\alpha$$\alpha<0$ чтоσявляется масштабным (и уникальным) параметром для∑ n k = 1 (xi- ˉ x )2.

Эту нормальную настройку затем можно распространить на любое семейство масштабов местоположения с конечной дисперсией σ 2 . В самом деле,

1. the variance $$\text{var}_{\mu,\tau}(X)=\mathbb{E}_{\mu,\tau}[(X-\mu)^2]=\tau^2\mathbb{E}_{0,1}[X^2]$$ is only a function of $\tau$;
2. the sum of squares $$\begin{align*}\mathbb{E}_{\mu,\tau}\left[\sum_{k=1}^n(X_i-\bar{X})^2\right]&=\tau^2\mathbb{E}_{\mu,\tau}\left[\sum_{k=1}^n\tau^{-2}(X_i-\mu-\bar{X}+\mu)^2\right]\\ &=\tau^2\mathbb{E}_{0,1}\left[\sum_{k=1}^n(X_i-\bar{X})^2\right]\end{align*}$$ has an expectation of the form $\tau^2\psi(n)$;
3. and similarly for any power $$\mathbb{E}_{\mu,\tau}\left[\left\{\sum_{k=1}^n(X_i-\bar{X})^2\right\}^\alpha\right]=\tau^{2\alpha}\mathbb{E}_{0,1}\left[\left\{\sum_{k=1}^n(X_i-\bar{X})^2\right\}^\alpha\right]$$ such that the expectation is finite.

A probably well known case, but a case nevertheless.
Consider a continuous uniform distribution $U(0,\theta)$. Given an i.i.d. sample, the maximum order statistic, $X_{(n)}$ has expected value

The standard deviation of the distribution is

So the estimator

is evidently unbiased for $\sigma$.

This generalizes to the case where the lower bound of the distribution is also unknown, since we can have an unbiased estimator for the Range, and then the standard deviation is again a linear function of the Range (as is essentially above also).

This exemplifies @whuber's comment, that "the amount of bias is a function of $n$ alone" (plus possibly any known constants) -so it can be deterministically corrected. And this is the case here.