Почему

Последовательность оценок для параметра асимптотически нормальна, если . ( источник ) Затем мы называем асимптотической дисперсией . Если эта дисперсия равна границе Крамера-Рао , мы говорим, что оценка / последовательность асимптотически эффективна. $U_n$ $\theta$ $\sqrt{n}(U_n - \theta) \to N(0,v)$ $v$ $U_n$

Вопрос: Почему мы используем в частности? $\sqrt{n}$

Я знаю, что для выборочного среднего значения и поэтому этот выбор нормализует его. Но поскольку приведенные выше определения относятся не только к среднему значению выборки, почему мы все же решили нормализовать с помощью . $Var(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$ $\sqrt{n}$

estimation asymptotics efficiency

— невежественный
источник

Для хорошей оценки должен иметь среднее значение , оцениваемый параметр, и дисперсия должна сходиться к , то есть распределение должно сходиться к вырожденному распределению с одним атомом в . Но есть много разных способов, как эта конвергенция может происходить, например, или и т. Д. Мы хотим примените асимметрически нормальный субрикет ко второму случаю, но не к первому.

U_{n}

$U_n$

θ

$\theta$

U_{n}

$U_n$

0

$0$

U_{n}

$U_n$

θ

$\theta$

U_{n} \sim U (θ - 1 / n, θ + 1 / n)

$U_n \sim U(\theta-1/n,\theta+1/n)$

U_{n} \sim N (θ, v / n)

$U_n\sim N(\theta,v/n)$

— Dilip Sarwate

Эффективные оценки асимптотически нормальны. en.wikipedia.org/wiki/…

— Хашаа

Может ли этот вопрос быть лучше назван «асимптотической нормальностью», а не «асимптотической эффективностью»? Мне не ясно, где «эффективность» становится существенным аспектом вопроса, а не просто контекстом, в котором встречается «асимптотическая нормальность».

— Серебряная рыба

Нужно просто проверить доказательство асимптотической нормальности MLE! Квадратный корень должен сделать центральную предельную теорему применимой к выборочной средней!

n

$n$

— Мегадет

Ответы:

Мы не можем выбирать здесь. Фактор «нормализации», по сути, является фактором «стабилизации дисперсии к чему-то конечному», так что выражение не стремится к нулю или к бесконечности, поскольку размер выборки идет к бесконечности, а поддерживает распределение на пределе.

Так что должно быть так, как должно быть в каждом конкретном случае. Конечно , интересно , что во многих случаях выясняется , что он должен быть . (но см. также комментарий @ whuber ниже). $\sqrt n$

Стандартный пример, где нормализующий коэффициент должен быть , а не это когда у нас есть модель $n$ $\sqrt n$

y_{t} = β y_{t - 1} + u_{t}, y_{0} = 0, t = 1, . . ., T

$y_t = \beta y_{t-1} + u_t, \;\; y_0 = 0,\; t=1,...,T$

с белым шумом , и мы оцениваем неизвестное по Обыкновенным Наименьшим Квадратам. $u_t$ $\beta$

Если так получилось, что истинное значение коэффициента равно , то оценка OLS непротиворечива и сходится с обычной скоростью . $|\beta|<1$ $\sqrt n$

Но если вместо этого истинное значение равно (т.е. у нас на самом деле чисто случайное блуждание), то оценка OLS непротиворечива, но будет сходиться «быстрее» со скоростью (это иногда называют «суперсогласованной» оценкой - так как, я думаю, так много оценок сходятся со скоростью ). В этом случае, чтобы получить его (ненормальное) асимптотическое распределение, мы должны масштабировать на (если мы масштабируем только на выражение будет стремиться к нулю). Гамильтон ch 17 имеет подробности. $\beta=1$ $n$ $\sqrt n$
$(\hat \beta - \beta)$ $n$ $\sqrt n$

— Алекос Пападопулос
источник

Алекос, не могли бы вы уточнить, что оценивается в модели (где, я полагаю, вы имели в виду а наблюдения подписаны т. Д.). Если в модели оценка OLS сходится со скоростью для но когда сходимость происходит со скоростью , или это тот случай, когда в модели сходимость всегда происходит со скоростью ? Короче, в чем смысл заявления "а

y_{t} = y_{t - 1} + u_{t}, u_{0} = 0

$y_t = y_{t-1}+u_t, u_0=0$

y_{0} = 0

$y_0=0$

1, 2,

$1, 2,$

y_{t} = β y_{t - 1} + u_{t}

$y_t = \beta y_{t-1}+u_t$

\hat{β}

$\hat{\beta}$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

| β | < 1

$|\beta| < 1$

β = 1

$\beta=1$

n

$n$

y_{t} = β y_{t - 1} + u_{t}

$y_t = \beta y_{t-1}+u_t$

n

$n$

β = 1

$\beta=1$ , т. е. чисто случайная прогулка. "?

— Дилип Сарват

@DilipSarwate Спасибо. Обновлено. Я верю, что теперь все ясно.

— Алекос Пападопулос

(+1) Возможно, стоит и поучительно отметить, что выбор (или или чего-либо еще подходящего) не уникален. Вместо него вы можете использовать любую функцию для которой предельное значение равно единице. Только в этом более широком смысле «должно быть тем, чем должно быть».

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

n

$n$

f (n)

$f(n)$

f (n) / \sqrt{n}

$f(n)/\sqrt{n}$

f

$f$

— whuber

@Khashaa ОП спросил об асимптотической эффективности, но в процессе выяснилось, что у ОП могло быть неправильное представление о «нормализующих» факторах. Это более фундаментальный вопрос, поэтому я решил осветить это в своем ответе. В моем ответе об эффективности ничего не сказано.

— Алекос Пападопулос

Возможно, стоит упомянуть в своем ответе, что случай с а не называется "суперсогласованным"? В настоящее время единственное упоминание о «суперсогласованности» в резюме, которое может найти функция поиска на сайте, это еще одно сообщение от Alecos! Я думаю, что это хорошая идея сделать Qs и As более удобными для поиска.

n

$n$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

— Серебряная рыба

Вы были на правильном пути с интуицией выборки средней дисперсии. Переоформить условие:

\sqrt{n} (U_{n} - θ) \to N (0, v)

$\sqrt{n}(U_n - \theta) \to N(0,v)$

(U_{n} - θ) \to \frac{N (0, v)}{\sqrt{n}}

$(U_n - \theta) \to \frac{N(0,v)}{\sqrt{n}}$

U_{n} \to N (θ, \frac{v}{n})

$U_n \to N(\theta,\frac{v}{n})$

Последнее уравнение неформально . Однако это в некоторой степени более интуитивно понятно: вы говорите, что отклонение от становится больше похожим на нормальное распределение при увеличении . Дисперсия уменьшается, но форма становится ближе к нормальному распределению. $U_n$ $\theta$ $n$

В математике они не определяют сходимость к изменяющейся правой части ( меняется). Вот почему та же идея выражена как исходное условие, которое вы дали. В котором правая сторона зафиксирована, а левая сторона сходится к нему. $n$

— Аксакал
источник

Вы могли бы объяснить, как вы делаете "перестановки". Как то, какие свойства вы применяете.

— Мававиль