Медиана абсолютного отклонения (MAD) и SD разных распределений

Для нормально распределенных данных стандартное отклонение и медианное абсолютное отклонение связаны: $\sigma$ $\text{MAD}$

$\sigma=\Phi^{-1}(3/4)\cdot \text{MAD}\approx1.4826\cdot\text{MAD},$

где - кумулятивная функция распределения для стандартного нормального распределения. $\Phi()$

Есть ли подобное отношение для других дистрибутивов?

distributions standard-deviation mad

— Vic
источник

Какой дистрибутив вы имели в виду?

— gung - Восстановить Монику

Нет конкретного распространения. Я просто наткнулся на некоторые странные наборы данных, и я хотел бы знать, существует ли возможный диапазон значений константы ...

— Вик

Да, для многих раздач - но цифры разные.

— Glen_b

Если вы хотите узнать возможный диапазон значений, которые могут конвертировать MAD в SD, почему бы не задать это в вопросе?

— Glen_b

Пожалуйста, объясните, что такое «MAD»: оно имеет более одного обычного значения! (И оба они дают одинаковые значения для нормальных распределений.)

— whuber

Ответы:

Чтобы ответить на вопрос в комментариях:

Я хотел бы знать, есть ли возможный диапазон значений постоянной

(Я предполагаю, что вопрос должен касаться медианного отклонения от медианного.)

Соотношение SD и MAD можно сделать сколь угодно большим.

Возьмите некоторое распределение с данным отношением SD к MAD. Удерживая средний распределения фиксированных (что означает MAD не изменяется). Переместить хвосты дальше. SD увеличивается. Продолжайте перемещать его за пределы любой заданной конечной границы. $50\%+\epsilon$
Соотношение SD и MAD легко сделать близким к по желанию, например, путем помещенияприипри 0. $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $25\%+\epsilon$ $\pm 1$ $50\%-2\epsilon$

Я думаю, что это будет так же мало, как и идет.

введите описание изображения здесь

— Glen_b - Восстановить Монику
источник

Является ли ваша интерпретация «MAD» в срединной абсолютное отклонение от среднего или от медианы (который часто используется и явно истолкование в ответ Сиане в)?

— whuber

@whuber - важно прояснить, спасибо. Я интерпретирую это как медиану, как Сиань. (Я где-то сделал ошибку?)

— Glen_b

Я не видел никакой ошибки - просто не было ясно ни в вопросе, ни в вашем ответе, какая интерпретация была предназначена (хотя с некоторым анализом читатель мог бы выяснить, какой вы используете). Я помню, как видел вопрос об интерпретации отклонения от среднего значения всего несколько недель назад.

— whuber

Для любого данного распределения с плотностью медианное абсолютное отклонение определяется как $f(x;\theta)$ $\text{MAD}_\theta=G^{-1}_\theta(1/2)$ $G_\theta$ $|X-\text{MED}_\theta|$ $\text{MED}_\theta=F^{-1}_\theta(1/2)$ $F_\theta$ $X$

$\theta=\sigma$ $\text{MAD}_\theta$ $\sigma$
В случаях, когда $\theta=(\mu,\sigma)$ $\mu$ $f (x; θ) = g ({x - μ} / σ) / σ$ $f(x;\theta)=g(\{x-\mu\}/\sigma)/\sigma$ $|X-\text{MED}_\theta|$ $|\{X-\mu\}-\{\text{MED}_\theta-\mu\}|$ $\mu$ $G_\theta$ $\sigma$ $\text{MAD}_\theta$ $\sigma$

— Сиань
источник