Есть ли нормализованные эквиваленты асимметрии и куртоза?

Что будет нормализованным эквивалентом асимметрии, которая будет иметь ту же единицу, что и данные? Точно так же, что было бы нормализованным эквивалентом Kurtosis? В идеале эти функции должны быть линейными по отношению к данным, а это означает, что если бы все наблюдения были умножены на коэффициент n, результирующая нормализованная асимметрия и эксцесс были бы умножены на один и тот же коэффициент n. Преимущество наличия таких нормализованных эквивалентов состояло бы в том, чтобы иметь возможность накладывать их поверх стандартного графика типа «усы и усы».

Меры по асимметрии намеренно не имеют единиц .

Обычная асимметрия моментов - это стандартизированный третий момент, .$E[(\frac{X-\mu}{\sigma})^3]$

Если вы но не стандартизируете, у вас есть ... что явно в кубических единицах .$\mu_3=E[(X-\mu)^3]$

Если вы хотите что-то в тех же единицах, что и , вам нужно взять корень куба, так же, как мы берем квадратный корень из дисперсии и получаем что-то в тех же единицах исходных данных. (Однако, будьте осторожны, поскольку многие пакеты не будут принимать кубические корни отрицательных чисел, вам, возможно, придется вычислить его как: )$X$$\quad\text{sign}(X-\mu)\times |E(X-\mu)^3|^{1/3}\:$

Я не уверен, насколько это будет полезно.

Для некоторых других мер асимметрии, таких как две меры асимметрии Пирсона, вы просто умножаете на .$\sigma$

Для выборочных мер асимметрии, где и как правило, неизвестны, как и для выборочной асимметрии, вы обычно заменяете их собственными выборочными оценками.$\sigma$$\mu$

Куртоз следует по той же схеме - для моментального куртоза вам нужно будет взять четвертые корни нестандартного четвертого момента, чтобы получить что-то, что масштабируется с данными.

Для некоторых других мер эксцесса их нужно только умножить на .$\sigma$

Асимметрия и эксцесс являются характеристиками формы. Так что, если я скажу вам, что вещь, шар, круглая, это не должно иметь значения, каков радиус этой вещи. Это может быть маленький шар или большой шар . С другой стороны, когда я говорю маленький шарик или большой куб, я имею в виду размер объекта, а не форму.

В связи с этим стандартное отклонение - это размер распределения, поэтому асимметрия и эксцесс нормализуются по размеру. Можно также сказать, что стандартное отклонение принадлежит механике, а асимметрия и эксцесс - геометрии. Поэтому нет, нам не нужно иметь их в единицах измерения переменной. Размер и форма отдельно. Большой и маленький шарики одинаково круглые , т.е. размер в данном случае не имеет значения :)

$R$$M_2 = \int_R {x x^T} |dx|$$M_2 = P\Lambda^2 P^T$

Геометрическим значением второго момента является «ориентация», что оправдывается тем, что диагонализация нормализует второй момент. Когда асимметрия рассчитывается в соответствии с этой нормировкой, она называется асимметричностью Мардиа .