Почему цены на акции являются ненормальными, но доходность акций нормальная

За исключением того факта, что доходность может быть отрицательной, в то время как цены должны быть положительными, есть ли какая-либо другая причина, по которой моделирование цен на акции является логарифмическим нормальным распределением, а моделирование доходности акций - нормальным распределением?

Некоторые моменты для начала:

i) эти соглашения о распределении в лучшем случае являются приближенными. Они могут быть удобными моделями, но мы не должны путать это с фактическим распределением цен акций или прибыли.

ii) цены на акции обычно растут (но в любом случае меняют среднее значение; среднее не является стабильным). Поэтому, когда мы говорим о распределении цен на акции, мы обычно имеем в виду не их предельное распределение, а условное распределение. Таким образом, мы часто имеем в виду, что что-то более похожее на приблизительно логнормально со средним значением, изменяющимся с (в частности, условно логнормально, условно на некотором предыдущем значении и прошедшем времени). Дисперсия также может измениться, и в этом случае и среднее значение, и условие дисперсии для некоторого предыдущего значения и времени. Так, например, под «ценами на акции примерно логарифмически» мы можем обозначить t y t / y t - $y_t$$t$y $y_t/y_{t-1} \, \dot{\sim}\, \log N(\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$или эквивалентно$y_t \, \dot{\sim}\, \log N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$

iii) Обратите внимание, что для малых , .log ( 1 + x ) ≈ $x$$\log(1+x)\approx x$

Для коротких периодических возвратов, таких как ежедневные возвраты, обычно довольно мало, обычно порядка 0,01 - или часто меньше - в абсолютном значении.$\frac{y_{t}-y_{t-1}}{y_{t-1}}$

Когда это соотношение мало,$\log(y_t)-\log(y_{t-1})=\log(\frac{y_t}{y_{t-1}})\approx \frac{y_t}{y_{t-1}}-1=\frac{y_t-y_{t-1}}{y_{t-1}}$

То есть доход примерно равен изменению цены акций журнала (попробуйте с реальными ценами на акции и убедитесь, что они практически идентичны).

Так что если

$$y_t \, \dot{\sim} \, \log N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$$

что подразумевает

$$\log(y_t) \, \dot{\sim} \, N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$$

тогда

$$\frac{y_t-y_{t-1}}{y_{t-1}}\approx \log(y_t)-\log(y_{t-1})\,\dot{\sim}\,N(\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$$