Когда средняя статистика является достаточной статистикой?

Я натолкнулся на замечание в The Chemical Statistician, что выборочная медиана часто может быть выбором для достаточной статистики, но, помимо очевидного случая одного или двух наблюдений, когда он равен среднему значению выборки, я не могу думать о другой нетривиальной случай, когда выборка медиана достаточно.

В случае, когда носитель распределения не зависит от неизвестного параметра θ, мы можем использовать теорему Питча-Купмана (Фреше-Дармуа-) , а именно, что плотность наблюдений обязательно имеет экспоненциальный вид семейства, чтобы сделать вывод, что, поскольку естественная достаточная статистика S = n ∑ i = 1 T ( x i ) также минимально достаточна, то медиана должна быть функцией

$$\exp\{ \theta T(x) - \psi(\theta) \}h(x)$$ $$S=\sum_{i=1}^n T(x_i)$$ $S$, что невозможно: изменение экстремума в наблюдениях , n > 2 изменяет S, но не изменяет медиану.$x_1,\ldots,x_n$$n>2$$S$

$$f(x|\theta) = h(x) \mathbb{I}_{A_\theta}(x) \tau(\theta)$$ $A_\theta$$f$ $$\prod_{i=1}^n \mathbb{I}_{A_\theta}(x_i)$$ $$\prod_{i=1}^n \mathbb{I}_{A_\theta}(x_i) = \mathbb{I}_{B^n_\theta}(\text{med}(x_{1:n}))$$ $x_{n+1}$ $$\mathbb{I}_{B^{n+1}_\theta}(\text{med}(x_{1:n+1}))=\mathbb{I}_{B^n_\theta}(\text{med}(x_{1:n}))\times \mathbb{I}_{A_\theta}(x_{n+1})$$