Расчет параметров бета-распределения с использованием среднего и дисперсии

66

Как я могу рассчитать параметры и для бета-распределения, если я знаю среднее значение и дисперсию, которые я хочу иметь в распределении? Примеры команды R для этого были бы наиболее полезны. $\alpha$ $\beta$

r distributions estimation beta-distribution

— Дэйв Кинкейд
источник

4

Обратите внимание, что пакет betareg в R использует альтернативную параметризацию (со средним значением и точностью - и, следовательно, дисперсия ), что устраняет необходимость в этих вычислениях.

μ = α / α + β

$\mu=\alpha/\alpha+\beta$

ϕ = α + β

$\phi=\alpha+\beta$

μ (1 - μ) / (1 + ϕ)

$\mu(1-\mu)/(1+\phi)$

— gung - Восстановить Монику

90

Я устанавливаю и и решено для и . Мои результаты показывают, что и

μ = \frac{α}{α + β}

$\mu=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}$

σ^{2} = \frac{α β}{(α + β)^{2} (α + β + 1)}

$\sigma^2=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$

α

$\alpha$

β

$\beta$

α = (\frac{1 - μ}{σ^{2}} - \frac{1}{μ}) μ^{2}

$\alpha=\left(\frac{1-\mu}{\sigma^2}-\frac{1}{\mu}\right)\mu^2$

β = α (\frac{1}{μ} - 1)

$\beta=\alpha\left(\frac{1}{\mu}-1\right)$

Я написал некоторый R-код для оценки параметров распределения Beta по заданному среднему значению mu и дисперсии var:

estBetaParams <- function(mu, var) {
  alpha <- ((1 - mu) / var - 1 / mu) * mu ^ 2
  beta <- alpha * (1 / mu - 1)
  return(params = list(alpha = alpha, beta = beta))
}

Там было некоторое замешательство вокруг границ и для любого данного бета-дистрибутива, поэтому давайте проясним это здесь. $\mu$ $\sigma^2$

$\mu=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\in\left(0, 1\right)$
$\sigma^2=\frac{\alpha\beta}{\left(\alpha+\beta\right)^2\left(\alpha+\beta+1\right)}=\frac{\mu\left(1-\mu\right)}{\alpha+\beta+1}<\frac{\mu\left(1-\mu\right)}{1}=\mu\left(1-\mu\right)\in\left(0,0.5^2\right)$

— assumednormal
источник

2

@stan Это даст вам бета-дистрибутив, который имеет то же среднее значение и дисперсию, что и ваши данные. Это не скажет вам, насколько хорошо распределение соответствует данным. Попробуйте тест Колмогорова-Смирнова .

— принято нормальным

4

Когда я вызываю эту функцию estBetaParams(0.06657, 0.1)я alpha=-0.025, beta=-0.35. Как это возможно?

— Амелио Васкес-Рейна

1

Эти вычисления будут работать только в том случае, если дисперсия меньше среднего * (1-среднее значение).

— знаю,

2

@danno - всегда . Чтобы увидеть это, перепишите дисперсию как . Так как , .

σ^{2} \leq μ (1 - μ)

$\sigma^2\leq\mu\left(1-\mu\right)$

σ^{2} = \frac{μ (1 - μ)}{α + β + 1}

$\sigma^2=\frac{\mu\left(1-\mu\right)}{\alpha+\beta+1}$

α + β + 1 \geq 1

$\alpha+\beta+1\geq1$

σ^{2} \leq μ (1 - μ)

$\sigma^2\leq\mu\left(1-\mu\right)$

— предполагается нормальное

1

@ AmelioVazquez-Reina Если вы дадите свои исходные данные, я думаю, скоро станет понятно, почему бета-версия не подходит.

— Glen_b

21

Вот общий способ решения этих типов проблем, используя Maple вместо R. Это работает и для других дистрибутивов:

with(Statistics):
eq1 := mu = Mean(BetaDistribution(alpha, beta)):
eq2 := sigma^2 = Variance(BetaDistribution(alpha, beta)):
solve([eq1, eq2], [alpha, beta]);

что приводит к решению

\begin{aligned} α & = - \frac{μ (σ^{2} + μ^{2} - μ)}{σ^{2}} \\ β & = \frac{(σ^{2} + μ^{2} - μ) (μ - 1)}{σ^{2}} . \end{aligned}

$\begin{align*} \alpha &= - \frac{\mu (\sigma^2 + \mu^2 - \mu)}{\sigma^2} \\ \beta &= \frac{(\sigma^2 + \mu^2 - \mu) (\mu - 1)}{\sigma^2}. \end{align*}$

Это эквивалентно решению Макса.

— Эрик П.
источник

5

В R бета-распределение с параметрами и имеет плотность $\textbf{shape1} = a$ $\textbf{shape2} = b$

$f(x) = \frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a) \Gamma(b)} x^{a-1}(1-x)^{b-1}$ ,

для , и . $a > 0$ $b >0$ $0 < x < 1$

В R вы можете вычислить это

дбета (x, shape1 = a, shape2 = b)

В этой параметризации среднее значение а дисперсия . Итак, теперь вы можете следить за ответом Ника Сабби. $E(X) = \frac{a}{a+b}$ $V(X) = \frac{ab}{(a + b)^2 (a + b + 1)}$

Хорошая работа!

редактировать

Я нахожу:

$a = \left( \frac{1 - \mu}{V} - \frac{1}{\mu} \right) \mu^2$ ,

а также

$b = \left( \frac{1 - \mu}{V} - \frac{1}{\mu} \right) \mu (1 - \mu)$ ,

где и . $\mu=E(X)$ $V=V(X)$

— ocram
источник

Я понимаю, что мой ответ очень похож на другие. Тем не менее, я считаю, что всегда полезно сначала проверить, что использует параметризация R ....

— ocram

2

Например, в Википедии вы можете найти следующие формулы для среднего значения и дисперсии бета-распределения с учетом альфа и бета: и Обращение этих (заполните в нижнем уравнении) должно дать вам результат, который вы хотите (хотя это может занять некоторую работу).

μ = \frac{α}{α + β}

$\mu=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}$

σ^{2} = \frac{α β}{(α + β)^{2} (α + β + 1)}

$\sigma^2=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$

β = α (\frac{1}{μ} - 1)

$\beta=\alpha(\frac{1}{\mu}-1)$

— Ник Сабби
источник

1

В Википедии есть раздел по оценке параметров, который позволяет вам избегать слишком большой работы :)

— rm999

1

Для обобщенного бета-распределения, определенного на интервале , у вас есть отношения: $[a,b]$

μ = \frac{a β + b α}{α + β}, σ^{2} = \frac{α β {(b - a)}^{2}}{{(α + β)}^{2} (1 + α + β)}

$\mu=\frac{a\beta+b\alpha}{\alpha+\beta},\quad\sigma^{2}=\frac{\alpha\beta\left(b-a\right)^{2}}{\left(\alpha+\beta\right)^{2}\left(1+\alpha+\beta\right)}$

который можно перевернуть, чтобы получить:

α = λ \frac{μ - a}{b - a}, β = λ \frac{b - μ}{b - a}

$\alpha=\lambda\frac{\mu-a}{b-a},\quad\beta=\lambda\frac{b-\mu}{b-a}$

где

λ = \frac{(μ - a) (b - μ)}{σ^{2}} - 1

$\lambda=\frac{\left(\mu-a\right)\left(b-\mu\right)}{\sigma^{2}}-1$

— becko
источник

Пользователь попытался оставить следующий комментарий: «где-то здесь есть ошибка. Текущая формулировка не возвращает правильную дисперсию».

— Серебряная рыба

1

Решите уравнение для или , решив для , вы получите Затем вставьте это во второе уравнение и решите для . Таким образом, вы получаете что упрощает до Тогда закончите решение для . $\mu$ $\alpha$ $\beta$ $\beta$

β = \frac{α (1 - μ)}{μ}

$\beta=\frac{\alpha(1-\mu)}{\mu}$

α

$\alpha$

σ^{2} = \frac{\frac{α^{2} (1 - μ)}{μ}}{(α + \frac{α (1 - μ)}{μ})^{2} (α + \frac{α (1 - μ)}{μ} + 1)}

$\sigma^2=\frac{\frac{\alpha^2(1-\mu)}{\mu}}{(\alpha+\frac{\alpha(1-\mu)}{\mu})^2(\alpha+\frac{\alpha(1-\mu)}{\mu}+1)}$

σ^{2} = \frac{\frac{α^{2} (1 - μ)}{μ}}{(\frac{α}{μ})^{2} \frac{α + μ}{μ}}

$\sigma^2=\frac{\frac{\alpha^2(1-\mu)}{\mu}}{(\frac{\alpha}{\mu})^2\frac{\alpha+\mu}{\mu}}$

σ^{2} = \frac{(1 - μ) μ^{2}}{α + μ}

$\sigma^2=\frac{(1-\mu)\mu^2}{\alpha+\mu}$

α

$\alpha$

— Пьяный Деривинг
источник

0

Я искал питона, но наткнулся на это. Так что это было бы полезно для таких, как я.

Вот код Python для оценки бета-параметров (согласно приведенным выше уравнениям):

# estimate parameters of beta dist.
def getAlphaBeta(mu, sigma):
    alpha = mu**2 * ((1 - mu) / sigma**2 - 1 / mu)

    beta = alpha * (1 / mu - 1)

    return {"alpha": 0.5, "beta": 0.1}


print(getAlphaBeta(0.5, 0.1)  # {alpha: 12, beta: 12}

Вы можете проверить параметры и , импортировав пакет. $\alpha$ $\beta$ scipy.stats.beta

— mythicalcoder
источник