Почему выборочное распределение дисперсии является распределением хи-квадрат?

Заявление

Распределение выборки дисперсии выборки представляет собой распределение хи-квадрат со степенью свободы, равной , где - размер выборки (учитывая, что интересующая случайная величина обычно распределена). $n-1$ $n$

Источник

Моя интуиция

Мне это кажется интуитивно понятным: 1) потому что критерий хи-квадрат выглядит как сумма квадратов и 2) потому что распределение хи-квадрат - это просто сумма квадратов нормального распределения. Но, тем не менее, я не очень хорошо понимаю это.

Вопрос

Это утверждение верно? Зачем?

— Remi.b
источник

Первоначальное утверждение вообще неверно (оно ложно по двум отдельным причинам). Каков ваш источник (ваша ссылка отсутствует), и что он на самом деле говорит?

— Glen_b

Мой вопрос также касается реакции на вопрос-ответ во вводном классе статистики, доступ к которому защищен. Вопрос состоит в том, «Какое распределение является выборочным распределением дисперсии длины крыла у мух?» и ответ "распределение хи-квадрат"

— Remi.b

Цитируемое утверждение в вашем первом комментарии все еще в целом неверно. Комментарий в конце источника верен (с необходимыми допущениями): « когда выборки размером n берутся из нормального распределения с дисперсией , распределение выборок имеет распределение хи-квадрат с n-1 степенями свободы. $\sigma^2$ $(n-1)s^2/\sigma^2$ "... Ответ на вопрос в вашем втором комментарии также будет ложным - если, я полагаю, кто-то не показал, что длина крыла нормально распределена. (На каком основании можно утверждать, что это правда?)

— Glen_b

Итак, давайте предположим, что крылья нормально распределены, тогда распределение выборки

будет распределено по хи-квадрату. Почему это так?

(n - 1) s^{2} / σ^{2}

$(n-1)s^2/\sigma^2$

— Remi.b

Знаете ли вы, что сумма квадратов

iid N (0,1) случайных величин хи-квадрат с

df? Или это та часть, которую вы ищете доказательство?

k

$k$

k

$k$

— Glen_b

[Я предполагаю из обсуждения в вашем вопросе, что вы рады принять за факт, что если являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами, то $Z_i, i=1,2,\ldots,k$ $N(0,1)$ .] $\sum_{i=1}^{k}Z_i^2\sim \chi^2_k$

Формально результат, который вам нужен, следует из теоремы Кохрана . (Хотя это можно показать другими способами)

Менее формально, учтите, что если мы знали среднее значение популяции, и оценили дисперсию о нем (а не о среднем по выборке): , тогда $s_0^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2$ , (), которое будет равно $s_0^2/\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}Z_i^2$ $Z_i=(X_i-\mu)/\sigma$ раз a случайная величина. $\frac{1}{n}$ $\chi^2_n$

Тот факт, что используется среднее значение выборки, вместо среднего значения совокупности ( ) делает сумму квадратов отклонений меньшей, но именно таким образом, чтобы $Z_i^*=(X_i-\bar{X})/\sigma$ (о чем см. Теорему Кохрана). Следовательно, вместо теперь мы имеем $\sum_{i=1}^{n}(Z_i^*)^2\,\sim\chi^2_{n-1}$ $ns_0^2/\sigma^2\sim \chi^2_n$ . $(n-1)s^2/\sigma^2\sim\chi^2_{n-1}$

— Glen_b - Восстановить Монику
источник

@Glen_b Можете ли вы дать ссылку на другие доказательства этого факта? Я действительно хочу это знать.

— Генри. L

Какой из нескольких фактов вы после доказательства?

— Glen_b

@Glen_b Единственными двумя методами, помимо теоремы Кохрана-Мадоу, которые доказывают этот факт, что выборочная дисперсия и среднее значение выборки статистически независимы с распределением хи-квадрат, являются: (1) канонический базис Шеффе (Scheffe, 1959) (2) методы кумулянта (Или mgfs, который эквивалентен этому). Если вы знаете больше методов, я действительно хочу знать их.

— Henry.L

Еще один комментарий, который я хочу добавить, заключается в том, что используется хотя бы среднее значение выборки, но иногда нам требуется фиксированная мощность, независимая от фиксированной дисперсии, этот метод заменяется двухэтапным методом Стейна (1949).

— Henry.L

Что я не получаю об этом ответе, так это то, что

не зависит от всех

\bar{X}

$\bar X$

X_{i}^{'} s

$X_i's$ , так как мы можем применить теорему Кохрена? это говорит о том, что все они должны быть независимыми.

— user56834