Если временной ряд является стационарным второго порядка, означает ли это, что он является строго стационарным?

Процесс является строго стационарным , если совместное распределение такое же , как совместное распределение для всех , для всех и для всех $X_t$ $X_{t_1},X_{t_2},...,X_{t_m}$ $X_{t_1+k},X_{t_2+k},...,X_{t_m+k}$ $m$ $k$ . $t_1,t_2,...,t_m$

Процесс является стационарным второго порядка, если его среднее значение является постоянным, а его функция автоковариации зависит только от запаздывания.

Следовательно, стационарные второго порядка подразумевают строгие стационарные?

Также при стационарном втором порядке говорится, что не делаются предположения о более высоких моментах, чем моменты первого и второго порядка. Первый момент соответствует среднему, соответствует ли второй момент автоковариации?

— Clarkson
источник

Смотрите также этот пост для соответствующего обсуждения.

— Javlacalle

То, что вы называете (или называете ваш курс) стационарным второго порядка, часто называют слабо стационарным или стационарным в широком смысле (WSS) или стационарным в широком смысле. Процессы WSS не обязательно являются строго стационарными, потому что среднего значения и автоковариации, как правило, недостаточно для определения распределения. Конечно, ВКХ гауссовым или нормальный процесс (то есть всех

являются нормальными случайными величинами) является строго стационарным , так как среднее значение и ковариационной матрицы определяют совместное распределение.

X_{t}

$X_t$

— Дилип Сарватэ,

См. Также пример процесса, который является 2-го порядка стационарным, но не строго стационарным . Два очень близки к тому, чтобы быть дубликатами. Этот вопрос также спрашивает о том, относится ли второй момент к автоковариантности, но это действительно подвопрос и, во всяком случае, обрабатывается в потоке. Что такое стационарный процесс второго порядка?

— Серебряная

mathoverflow.net/questions/42141/…

— Робби Маккиллиам

Стационарность второго порядка слабее, чем строгая стационарность. Стационарность второго порядка требует, чтобы моменты первого и второго порядка (среднее значение, дисперсия и ковариации) были постоянными во времени и, следовательно, не зависели от времени, в которое наблюдается процесс. В частности, как вы говорите, ковариация зависит только от порядка запаздывания , но не от времени, в которое она измеряется: для всех $k$ $Cov(x_t, x_{t-k}) = Cov(x_{t+h}, x_{t+h-k})$ . $t$

В строгом процессе стационарности, моменты всех порядков остаются постоянными в течение времени, то есть, как вы говорите, совместное распределение такое же , как совместное распределение для всех $X_{t1},X_{t2},...,X_{tm}$ $X_{t1+k}+X_{t2+k}+...+X_{tm+k}$ и . $t1,t2,...,tm$ $k$

Следовательно, строгая стационарность предполагает стационарность второго порядка, но обратное неверно.

Изменить (отредактировано как ответ на комментарий @ whuber)

Предыдущее утверждение - общее понимание слабой и сильной стационарности. Хотя идея о том, что стационарность в слабом смысле не подразумевает стационарность в более сильном смысле, может совпадать с интуицией, это может быть не так просто для доказательства, как указано в комментарии ниже. Может быть полезно проиллюстрировать идею, предложенную в этом комментарии.

Как мы можем определить процесс, который является стационарным второго порядка (среднее значение, дисперсия и постоянная ковариации во времени), но не является строгим в строгом смысле (моменты более высокого порядка зависят от времени)?

По предложению @whuber (если я правильно понял) мы можем объединять партии наблюдений, поступающих из разных распределений. Нам просто нужно быть осторожными, чтобы эти распределения имели одинаковое среднее значение и дисперсию (на данный момент давайте рассмотрим, что они выбираются независимо друг от друга). С одной стороны, мы можем, например, генерировать наблюдения из распределения Стьюдента с степенями свободы. Среднее равно нулю , а дисперсия . С другой стороны, мы можем взять гауссово распределение с нулевым средним и дисперсией . $t$ $5$ $5/(5-2)=5/3$ $5/3$

Оба распределения одни и те же среднее значение (ноль) и дисперсию ( ). Таким образом, конкатенация случайных значений из этих распределений будет, по меньшей мере, стационарной второго порядка. Тем не менее, эксцесс в тех точках, которые определяются распределением Гаусса, будет равен , а в те моменты времени, когда данные поступают из распределения Стьюдента, он будет равен . Следовательно, данные, сгенерированные таким образом, не являются в строгом смысле стационарными, поскольку моменты четвертого порядка не являются постоянными. $5/3$ $3$ $t$ $3+6/(5-4)=9$

Ковариации также постоянны и равны нулю, так как мы рассматривали независимые наблюдения. Это может показаться тривиальным, поэтому мы можем создать некоторую зависимость среди наблюдений в соответствии со следующей моделью авторегрессии.

Y_{T} знак равно φ Y_{T - 1} + ε_{T}, | φ | < 1, T знак равно 1, 2,,,,, 120

$y_t = \phi y_{t-1} + \epsilon_t \,, \quad |\phi| < 1 \,, \quad t = 1,2,...,120$

\begin{array}{rcl} ε_{T} ~ {\begin{cases} N (0, σ^{2} знак равно 5 / 3) & если T \in [0, 20], [41, 60], [81, 100] \\ T_{5} & если T \in [21, 40], [61, 80], [101, 120], \end{cases} \end{array}

$\begin{eqnarray} \epsilon_t \sim \left\{ \begin{array}{ll} N(0, \sigma^2=5/3) \quad & \hbox{if} \; t \in [0,20], [41,60], [81,100] \\ t_5 \quad & \hbox{if} \; t \in [21,40], [61,80], [101,120] \,. \end{array} \right. \end{eqnarray}$

гарантирует, что стационарность второго порядка удовлетворяется. $|\phi| < 1$

Мы можем смоделировать некоторые из этих рядов в программном обеспечении R и проверить, остаются ли средние значения выборки, дисперсии, ковариации первого порядка и эксцесса постоянными в партиях из наблюдений (в приведенном ниже коде используется и размер выборки , на рисунке показано один из смоделированных рядов): $20$ $\phi=0.8$ $n=240$

# this function is required below
kurtosis <- function(x)
{
  n <- length(x)
  m1 <- sum(x)/n
  m2 <- sum((x - m1)^2)/n
  m3 <- sum((x - m1)^3)/n
  m4 <- sum((x - m1)^4)/n
  b1 <- (m3/m2^(3/2))^2
  (m4/m2^2)
}
# begin simulation
set.seed(123)
n <- 240
Mmeans <- Mvars <- Mcovs <- Mkurts <- matrix(nrow = 1000, ncol = n/20)
for (i in seq(nrow(Mmeans)))
{
  eps1 <- rnorm(n = n/2, sd = sqrt(5/3))
  eps2 <- rt(n = n/2, df = 5)
  eps <- c(eps1[1:20], eps2[1:20], eps1[21:40], eps2[21:40], eps1[41:60], eps2[41:60], 
    eps1[61:80], eps2[61:80], eps1[81:100], eps2[81:100], eps1[101:120], eps2[101:120])
  y <- arima.sim(n = n, model = list(order = c(1,0,0), ar = 0.8), innov = eps)

  ly <- split(y, gl(n/20, 20))
  Mmeans[i,] <- unlist(lapply(ly, mean))
  Mvars[i,] <- unlist(lapply(ly, var))
  Mcovs[i,] <- unlist(lapply(ly, function(x) 
    acf(x, lag.max = 1, type = "cov", plot = FALSE)$acf[2,,1]))
  Mkurts[i,] <- unlist(lapply(ly, kurtosis))
}

Результаты не те, что я ожидал:

round(colMeans(Mmeans), 4)
#  [1]  0.0549 -0.0102 -0.0077 -0.0624 -0.0355 -0.0120  0.0191  0.0094 -0.0384
# [10]  0.0390 -0.0056 -0.0236
round(colMeans(Mvars), 4)
#  [1] 3.0430 3.0769 3.1963 3.1102 3.1551 3.2853 3.1344 3.2351 3.2053 3.1714
# [11] 3.1115 3.2148
round(colMeans(Mcovs), 4)
#  [1] 1.8417 1.8675 1.9571 1.8940 1.9175 2.0123 1.8905 1.9863 1.9653 1.9313
# [11] 1.8820 1.9491
round(colMeans(Mkurts), 4)
#  [1] 2.4603 2.5800 2.4576 2.5927 2.5048 2.6269 2.5251 2.5340 2.4762 2.5731
# [11] 2.5001 2.6279

$t$ $20$

— javlacalle
источник

Хотя вы правы, вы не смогли адекватно продемонстрировать окончательный вывод. (Похоже, вы предполагаете, что более высокие моменты стационарного процесса второго порядка могут быть заданы независимо от его первых двух моментов, но это - хотя отчасти верно - неочевидно.) Самый сильный способ продемонстрировать ваше заключение - показать процесс, который является вторым порядком стационарным, но не стационарным. Хотя это легко сделать с помощью подходящей последовательности независимых случайных величин, было бы интересно привести пример с неисчезающими корреляциями при всех лагах.

— whuber

@whuber Я отредактировал свой ответ. Я думал, что понял вашу мысль, но моя попытка следовать вашей идее не была полностью удовлетворительной.

— Javlacalle

U_{i}, i = 0, 1

$U_i,i=0,1$

p \neq 1 / 2

$p\ne 1/2$

1 - p

$1-p$

(X_{i})

$(X_i)$

i \in Z

$i\in\mathbb{Z}$

Y_{i} = U_{[i]} - p_{[i]} + X_{i}

$Y_i=U_{[i]}-p_{[i]}+X_i$

[i] = 0

$[i]=0$

i

$i$

[i] = 1

$[i]=1$ Rn <- 300; p <- 1/4; x <- rnorm(n, (rbinom(2,1,c(p,1-p))-c(p,1-p)), 1/8)

Я бы не стал заказывать строгие стационарные и ковариантно-стационарные (хотя использование термина «слабый» и для последнего, к сожалению, указывает на такой порядок). Причина в том, что строгая стационарность не подразумевает ковариационную стационарность: процесс может быть строго стационарным, но моменты распределения могут не существовать или быть бесконечными, и в этом случае этот строго стационарный процесс не является ковариационно-стационарным.

— Алекос Пападопулос

Мы не можем напрямую моделировать несуществование моментов . Создайте строго стационарный процесс Коши, чтобы взять тривиальный пример. График будет выглядеть идеально «стационарным», потому что поведение процесса является повторяющимся, поведение, которое зависит от моментов только тогда, когда они существуют . Если они не существуют, то поведение описывается и зависит от других характеристик распределения.

— Алекос Пападопулос

Поскольку я не могу комментировать, и у меня есть достойное предостережение относительно ответа @javlacalle , я вынужден включить в него отдельный ответ:

@javlacalle написал это

строгая стационарность предполагает стационарность второго порядка, но обратное неверно.

Однако сильная стационарность не означает слабой стационарности. Причина в том, что сильная стационарность не означает, что процесс обязательно имеет конечный второй момент. Например, процесс iid со стандартным распределением Коши строго стационарен, но не имеет конечного второго момента. Действительно, наличие конечного второго момента является необходимым и достаточным условием слабой стационарности сильно стационарного процесса.

Ссылка: Майерс, DE, 1989. Быть или не быть. , , стационарные? Вот в чем вопрос. Математика Геол. 21, 347–362.

— ShayPal5
источник