В чем разница между и ?

Какова разница между и ?$E(X|Y)$$E(X|Y=y)$

Раньше функция $y$ а последняя функция $x$ ? Это так запутанно ..

Грубо говоря, разница между $E(X \mid Y)$ и $E(X \mid Y = y)$ заключается в том, что первое является случайной величиной, а второе (в некотором смысле) является реализацией $E(X \mid Y)$ . Например, если

$$(X, Y) \sim \mathcal N\left(\mathbf 0, \begin{pmatrix} 1 & \rho \\ \rho & 1 \end{pmatrix}\right)$$ то $E(X \mid Y)$ - случайная величина $$E(X \mid Y) = \rho Y.$$ Наоборот, когда $Y = y$ наблюдается, мы, скорее всего, будем интересоваться величиной $E(X \mid Y = y) = \rho y$ которая это скаляр

Может быть, это кажется ненужным усложнением, но если рассматривать $E(X \mid Y)$ как случайную переменную само по себе, это то, что имеет смысл, например, закон башни $E(X) = E[E(X \mid Y)]$ - вещь внутри фигурных скобок является случайной, поэтому мы можем спросить, каково ее ожидание, тогда как в E нет ничего случайного (X \ mid Y = y)$E(X \mid Y = y)$ . В большинстве случаев мы можем надеяться вычислить

$$E(X \mid Y = y) = \int x f_{X\mid Y}(x \mid y) \ dx$$

а затем получить , "подключив" случайную переменную вместо в результирующем выражении. Как указывалось в предыдущем комментарии, есть некоторая тонкость, которая может проникнуть в суть того, как эти вещи строго определены и связать их соответствующим образом. Это обычно происходит с условной вероятностью из-за некоторых технических проблем, лежащих в основе теории.E ( X ∣ Y ) Y $E(X \mid Y)$$Y$$y$

Предположим, что и - случайные величины.$X$$Y$

Пусть - фиксированное действительное число, скажем, . Тогда, является число : это условное ожидаемое значение из при условии , что имеет значение . Обратите внимание, что для некоторого другого фиксированного действительного числа , скажем, , будет условным ожидаемым значением заданным (действительным число). Нет оснований предполагать, что и$y_0$y 0 = 1 E [ X ∣ Y = y 0 ] = E [ X ∣ Y = 1 ] X Y 1 y 1 y 1 = 1,5 E [ X ∣ Y = y 1 ] = E [ X ∣ Y = 1,5 ] X Y = 1,5 E [ X ∣ Y =$y_0 = 1$$E[X\mid Y=y_0]= E[X\mid Y = 1]$$X$$Y$$1$$y_1$$y_1=1.5$$E[X\mid Y = y_1] = E[X\mid Y = 1.5]$$X$$Y = 1.5$$E[X\mid Y = 1.5]$$E[X\mid Y = 1]$имеют одинаковое значение. Таким образом, мы также можем рассматривать как действительную функцию которая отображает действительные числа в действительные числа . Обратите внимание, что утверждение в вопросе OP о том, что является функцией от , неверно: является действительной функцией от .$E[X\mid Y=y]$g ( y ) y E [ X ∣ Y = y ] E [ X ∣ Y = y ] x E [ X ∣ Y = y ] y $g(y)$$y$$E[X\mid Y = y]$$E[X\mid Y = y]$$x$$E[X\mid Y = y]$$y$

С другой стороны, , является случайной величиной , которое случается быть функцией случайной величины . Теперь, когда мы пишем , мы имеем в виду, что всякий раз, когда случайная переменная имеет значение , случайная переменная имеет значение . Всякий раз, когда принимает значение , случайная величина принимает значение . Таким образом, - это просто другое имя для случайной величины$E[X\mid Y]$Z Y Z = h ( Y ) Y y Z h ( y ) Y y Z = E [ X ∣ Y ] E [ X ∣ Y = y ] = g ( y ) E [ X ∣ Y ] Z = g ( Y ) E [ X ∣ Y $Z$$Y$$Z = h(Y)$$Y$$y$$Z$$h(y)$$Y$$y$ $Z = E[X\mid Y]$$E[X\mid Y = y] = g(y)$$E[X\mid Y]$$Z = g(Y)$, Обратите внимание, что является функцией (а не как в формулировке вопроса ОП).$E[X\mid Y]$$Y$$y$

В качестве простого иллюстративного примера предположим, что и представляют собой дискретные случайные величины с совместным распределением Обратите внимание, что и являются (зависимыми) случайными величинами Бернулли с параметрами и соответственно, поэтому и . Теперь, обратите внимание , что кондиционер на , является случайной величиной Бернулли с параметром , а с кондиционером$X$$Y$

$$\begin{align} P(X=0,Y=0) &= 0.1,~~ P(X=0, Y=1) = 0.2,\\ P(X=1,Y=0) &= 0.3,~~ P(X=1,Y=1) = 0.4. \end{align}$$ $X$$Y$$0.7$$0.6$$E[X] = 0.7$$E[Y] = 0.6$$Y=0$$X$$0.75$на , представляет собой случайную величину Бернулли с параметром . Если вы не можете понять, почему это происходит так быстро, просто проработайте детали: например, и аналогично для и . Следовательно, у нас есть Таким образом, где - вещественная функция, обладающая свойствами:$Y = 1$$X$$\frac 23$ $$P(X=1\mid Y = 0) = \frac{P(X=1, Y=0)}{P(Y=0)} = \frac{0.3}{0.4} = \frac 34,\\ P(X=0\mid Y = 0) = \frac{P(X=0, Y=0)}{P(Y=0)} = \frac{0.1}{0.4} = \frac 14,$$ $P(X=1\mid Y=1)$$P(X=0\mid Y = 1)$ $$E[X\mid Y = 0] = \frac 34, \quad E[X \mid Y = 1] = \frac 23.$$ $E[X\mid Y = y] = g(y)$$g(y)$ $$g(0) = \frac 34, \quad g(1) = \frac 23.$$

С другой стороны, является случайной величиной, которая принимает значения и с вероятностями и соответственно. Обратите внимание, что является дискретной случайной величиной, но не является случайной величиной Бернулли.$E[X\mid Y] = g(Y)$$\frac 34$$\frac 23$$0.4 = P(Y=0)$$0.6 = P(Y=1)$$E[X\mid Y]$

Как последний штрих, обратите внимание, что То есть, ожидаемое значение этой функции из , который мы рассчитали , используя только маргинальное распределение , случается , чтобы иметь такое же численное значение , как !! Это иллюстрация более общего результата, который многие люди считают ЛЖИ:

$$E[Z] = E\left[E[X\mid Y]\right] = E[g(Y)] = 0.4\times \frac 34 + 0.6\times \frac 23 = 0.7 = E[X].$$ $Y$$Y$$E[X]$ $$E\left[E[X\mid Y]\right] = E[X].$$

Извините, это всего лишь маленькая шутка. LIE - это аббревиатура Закона повторяющихся ожиданий, который является совершенно достоверным результатом, который, как все считают, является правдой.

$E(X|Y)$ является ожидание случайной величины: математическое ожидание обусловливающих . , с другой стороны, является конкретным значением: ожидаемое значение когда .$X$$Y$$E(X|Y=y)$$X$$Y=y$

Подумайте об этом так: пусть представляет потребление калорий, а представляет рост. - это потребление калорий, обусловленное ростом - и в этом случае представляет собой наше лучшее предположение о потреблении калорий ( ), когда человек имеет определенную высоту скажем, 180 сантиметров. $X$$Y$$E(X|Y)$$E(X|Y=y)$$X$$Y = y$

$E(X|Y)$ - ожидаемое значение значений учетом значений - ожидаемое значение учетом значений -$X$$Y$ $E(X|Y=y)$$X$$Y$$y$

Обычно - это вероятность значений данными значениями , но вы можете получить более точное значение и сказать , то есть вероятность значения из всех значений , заданных для 'th значение 's. Разница в том, что в первом случае речь идет о «значениях», а во втором вы рассматриваете определенное значение.$P(X|Y)$$X$$Y$$P(X=x|Y=y)$$x$$X$$y$$Y$

Вы можете найти диаграмму ниже полезной.