Ненулевая корреляция подразумевает зависимость?

Мы знаем о том факте, что нулевая корреляция не означает независимость. Меня интересует, подразумевает ли ненулевая корреляция зависимость - то есть, если для некоторых случайных величин и , можем ли мы вообще сказать, что ?X Y f X , Y ( x , y ) ≠ f X ( x ) f Y ( y $\text{Corr}(X,Y)\ne0$$X$$Y$$f_{X,Y}(x,y) \ne f_X(x) f_Y(y)$

Да потому, что

$$\text{Corr}(X,Y)\ne0 \Rightarrow \text{Cov}(X,Y)\ne0$$

$$\Rightarrow E(XY) - E(X)E(Y) \ne 0$$

$$\Rightarrow \int \int xyf_{X,Y}(x,y)dxdy -\int xf_X(x) dx\int yf_Y(y)dy \ne 0$$

$$\Rightarrow \int \int xyf_{X,Y}(x,y)dxdy -\int \int xyf_X(x) f_Y(y)dxdy \ne 0$$

$$\Rightarrow \int \int xy \big[f_{X,Y}(x,y) -f_X(x) f_Y(y)\big]dxdy \ne 0$$

что было бы невозможно, если . Так$f_{X,Y}(x,y) -f_X(x) f_Y(y) =0,\;\; \forall \{x,y\}$

$$\text{Corr}(X,Y)\ne0 \Rightarrow \exists \{x,y\}:f_{X,Y}(x,y) \ne f_X(x) f_Y(y)$$

Вопрос: что происходит со случайными переменными, у которых нет плотностей?

Пусть и Y обозначают случайные величины, такие что E [ X 2 ] и E [ Y 2 ] конечны. Тогда E [ X Y ] , E [ X ] и E [ Y ] все конечны.$X$$Y$$E[X^2]$$E[Y^2]$$E[XY]$$E[X]$$E[Y]$

Ограничивая наше внимание такими случайными переменными, пусть обозначает утверждение, что X и Y являются независимыми случайными величинами, а B - утверждение, что X и Y - некоррелированные случайные величины, то есть E [ X Y ] = E [ X ] E [ Y ] . Тогда мы знаем, что A подразумевает B , то есть независимые случайные величины являются некоррелированными случайными величинами. Действительно, одно определение$A$$X$$Y$$B$$X$$Y$$E[XY] = E[X]E[Y]$$A$$B$независимых случайных величин состоит в том, что равно E [ g ( X ) ] E [ h ( Y ) ] для всех измеримых функций g ( ⋅ ) и h ( ⋅ ) ). Это, как правило , выражается как $E[g(X)h(Y)]$$E[g(X)]E[h(Y)]$$g(\cdot)$$h(\cdot)$ Но

$$A \implies B.$$ логически эквивалентна ¬ $A \implies B$ , то есть$\neg B \implies \neg A$

коррелированные случайные величины являются зависимыми случайными величинами.

Если , E [ X ] или E [ Y ] не являются конечными или не существуют, то невозможно сказать, являются ли X и Y некоррелированными или нет в классическом смысле некоррелированных случайных величин, являющихся который E [ X Y ] = E [ X ] E [ Y ] . Например, X и Y могут быть независимыми случайными величинами Коши (для которых среднее не существует$E[XY]$$E[X]$$E[Y]$$X$$Y$$E[XY] = E[X]E[Y]$$X$$Y$). Являются ли они некоррелированными случайными величинами в классическом смысле?

Здесь чисто логическое доказательство. Если то обязательно ¬ B → ¬ A , так как оба они эквивалентны. Таким образом , если ¬ В то ¬ . Теперь замените А независимостью, а В - корреляцией.$A\rightarrow B$$\neg B \rightarrow \neg A$$\neg B$$\neg A$$A$$B$

Подумайте о высказывании «если извержение вулкана повлечет за собой ущерб». Теперь подумайте о случае, когда нет повреждений. Ясно, что вулкан не извергался, или у нас было бы противоречие.

Точно так же, подумайте о случае «Если независимы , то некоррелированные X , Y ». Теперь рассмотрим случай, когда X , Y коррелированы. Очевидно, что они не могут быть независимыми, потому что если бы они были, они также были бы коррелированы. Таким образом, заключаем зависимость.$X,Y$$X,Y$$X,Y$