Соответствует ли каждая полуположительная определенная матрица ковариационной матрице?

Хорошо известно, что ковариационная матрица должна быть полуположительно определенной, однако верно ли обратное?

То есть каждая полуположительная определенная матрица соответствует ковариационной матрице?

covariance matrix

Судя по определениям PD и PSD здесь , да, я так думаю, так как мы можем сделать это путем строительства. Я предположу для немного более простого аргумента, что вы имеете в виду для матриц с реальными элементами, но с соответствующими изменениями это будет распространяться на сложные матрицы.

Пусть некоторая вещественная PSD-матрица; из определения, с которым я связан, оно будет симметричным. Любая реальная симметричная положительно определенная матрица может быть записано в виде . Это можно сделать с помощью $A$ $A$ $A = LL^T$ еслис ортогональнойи диагональюикачестве матрицы компонентов мудрых квадратных корней. Таким образом, это не должно быть полный ранг. $L=Q\sqrt{D}Q^T$ $A=QDQ^T$ $Q$ $D$ $\sqrt{D}$ $D$

Пусть - некоторая векторная случайная величина соответствующего размера с ковариационной матрицей (которую легко создать). $Z$ $I$

Тогда имеет ковариационная матрица . $LZ$ $A$

[По крайней мере, это в теории. На практике, если вы хотите хороших результатов, вам придется решать различные числовые проблемы и - из-за обычных проблем с вычислением с плавающей запятой - вы получите только приблизительно то, что вам нужно; то есть, дисперсия популяции вычисленного , как правило , не будет точно . Но такого рода вещи всегда являются проблемой, когда мы на самом деле рассчитываем вещи.] $LZ$ $A$

— Glen_b - Восстановить Монику
источник

Хотя это правда , что разложение

можно без полного ранга, алгоритм Cholesky работает только с регулярным

. Так что без полного ранга это не может быть разложение Холецкого. В вычислительном отношении это можно сделать в единственном случае путем диагонализации. (Хотя это намного дороже)

A = L L^{'}

$A=LL'$

A

$A$

— Хорст Грюнбуш

@ Хорст: Зачем

L = Q \sqrt{D} Q^{T}

$L=Q\sqrt{D}Q^T$

@amoeba Хотя это можно организовать так, чтобы аргумент работал, он не должен быть треугольником снизу - это особенность Холецкого, но он не обязателен для работы результата.

— Glen_b

@Glen Является ли симметрия необходимым условием для PSD или это определение одно из многих?

— 114

@ 114 для связи между симметричным и PSD см. Math.stackexchange.com/questions/516533/…

— Фрэнк