CDF поднят на власть?

Если - это CDF, похоже, что ( ) также является CDF.$F_Z$$F_Z(z)^\alpha$$\alpha \gt 0$

В: Это стандартный результат?

Q: Есть ли хороший способ найти функцию с st , где$g$$X \equiv g(Z)$$F_X(x) = F_Z(z)^\alpha$$x \equiv g(z)$

По сути, у меня есть еще один CDF, $F_Z(z)^\alpha$ . В некотором смысле уменьшенной формы я хотел бы охарактеризовать случайную переменную, которая производит этот CDF.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Я был бы счастлив, если бы я мог получить аналитический результат для особого случая $Z \sim N(0,1)$ . Или хотя бы знать, что такой результат неразрешимый.

Мне нравятся другие ответы, но никто еще не упомянул следующее. Событие происходит тогда и только тогда, когда , поэтому если и независимы и , затем поэтому для положительное целое число (скажем, ) принимает , где «ы являются IID{ м а х ( U , V ) ≤ т } U V W = т а х ( U , V ) Р Ш ( т ) = Р U ( т ) * Р V ( т ) α α = n X = m a x ( $\{U \leq t,\ V\leq t \}$$\{\mathrm{max}(U,V)\leq t\}$$U$$V$$W = \mathrm{max}(U,V)$$F_{W}(t) = F_{U}(t)*F_{V}(t)$$\alpha$$\alpha = n$$X = \mathrm{max}(Z_{1},...Z_{n})$$Z$

Для мы можем переключиться, чтобы получить , так что будет той случайной переменной, что максимум из независимых копий будет иметь такое же распределение, что и (и это не будь одним из наших знакомых друзей, в общем). $\alpha = 1/n$$F_{Z} = F_{X}^n$$X$$n$$Z$

Случай положительного рационального числа (скажем, ) следует из предыдущего, поскольку $\alpha$$\alpha = m/n$

$$\left(F_{Z}\right)^{m/n} = \left(F_{Z}^{1/n}\right)^{m}.$$

Для иррационального выберите последовательность положительных рациональных чисел сходящихся к ; тогда последовательность (где мы можем использовать описанные выше приемы для каждого ) будет сходиться по распределению к требуемому$\alpha$$a_{k}$$\alpha$$X_{k}$$k$$X$

Возможно, это не та характеристика, которую вы ищете, но она, по крайней мере, дает представление о том, как правильно думать о для . С другой стороны, я не совсем уверен, насколько лучше это может быть: у вас уже есть CDF, поэтому правило цепочки дает вам PDF, и вы можете вычислять моменты до заката ...? Это правда, что у большинства не будет , знакомого для , но если бы я захотел поиграть с примером, чтобы найти что-то интересное, я мог бы попробовать равномерно распределить на интервале единиц с , .$F_{Z}^{\alpha}$$\alpha$$Z$$X$$\alpha = \sqrt{2}$$Z$$F(z) = z$$0<z<1$

---

РЕДАКТИРОВАТЬ: я написал несколько комментариев в ответ @JMS, и был вопрос о моей арифметике, поэтому я напишу, что я имел в виду, в надежде, что это более понятно.

@cardinal правильно в комментарии к @JMS ответ написал, что проблема упрощается до или в более общем случае, когда не обязательно , мы имеем Моя точка зрения заключалась в том, что когда имеет хорошую обратную функцию, мы можем просто решить для функции с базовой алгеброй. Я написал в комментарии, что должно быть

$$g^{-1}(y) = \Phi^{-1}(\Phi^{\alpha}(y)),$$ $Z$$N(0,1)$ $$x = g^{-1}(y) = F^{-1}(F^{\alpha}(y)).$$ $F$$y = g(x)$$g$ $$y = g(x) = F^{-1}(F^{1/\alpha}(x)).$$

Давайте возьмем специальный случай, включим вещи и посмотрим, как это работает. Пусть имеет распределение Exp (1) с CDF и обратным CDF Легко подключить все, чтобы найти ; после того, как мы закончим, мы получим Итак, в итоге я утверждаю, что если и если мы определим тогда у будет CDF, который выглядит как Мы можем доказать это непосредственно (посмотрите на$X$

$$F(x) = (1 - \mathrm{e}^{-x}),\ x > 0,$$ $$F^{-1}(y) = -\ln(1 - y).$$ $g$ $$y = g(x) = -\ln \left( 1 - (1 - \mathrm{e}^{-x})^{1/\alpha} \right)$$ $X \sim \mathrm{Exp}(1)$ $$Y = -\ln \left( 1 - (1 - \mathrm{e}^{-X})^{1/\alpha} \right),$$ $Y$ $$F_{Y}(y) = \left( 1 - \mathrm{e}^{-y} \right)^{\alpha}.$$ $P(Y \leq y)$ и использовать алгебру, чтобы получить выражение, в следующем за последним шагом нам понадобится интегральное преобразование вероятности). Просто в (часто повторяющемся) случае, что я сумасшедший, я провел несколько симуляций, чтобы перепроверить, что это работает, ... и это работает. См. ниже. Чтобы упростить код, я использовал два факта: $$\mbox{If $X \sim F$ then $U = F(X) \sim \mathrm{Unif}(0,1)$.}$$ $$\mbox{If $U \sim \mathrm{Unif}(0,1)$ then $U^{1/\alpha} \sim \mathrm{Beta}(\alpha,1)$.}$$

Сюжет результатов моделирования выглядит следующим образом.

Код R, используемый для создания графика (без меток):

n <- 10000; alpha <- 0.7
z <- rbeta(n, shape1 = alpha, shape2 = 1)
y <- -log(1 - z)
plot(ecdf(y))
f <- function(x) (pexp(x, rate = 1))^alpha
curve(f, add = TRUE, lty = 2, lwd = 2)

Подходит выглядит довольно хорошо, я думаю? Может я не сумасшедший (на этот раз)?

Доказательство без слов

Нижняя синяя кривая - , верхняя красная кривая - (типизирует регистр ), а стрелки показывают, как перейти от к .$F$$F^\alpha$$\alpha \lt 1$$z$$x = g(z)$

Q1) Да. Это также полезно для генерации переменных, которые стохастически упорядочены; Вы можете видеть это на красивой картине @ whuber :). меняет случайный порядок.$\alpha>1$

То, что это действительный cdf, это просто вопрос проверки необходимых условий: должен быть кадлагом , неубывать и ограничиваться 1 на бесконечности и 0 на отрицательной бесконечности. F z обладает этими свойствами, поэтому все это легко показать.$F_z(z)^\alpha$$1$$0$$F_z$

Q2) Похоже, это было бы довольно сложно аналитически, если является особенным$F_Z$