Содержат ли pdf, pmf и cdf одну и ту же информацию?

17

Для меня pdf дает всю вероятность до определенной точки (в основном это область под вероятностью).

PMF дает вероятность определенного момента.

Cdf дает вероятность под определенным пунктом.

Так что для меня pdf и cdf имеют одинаковую информацию, а pmf - нет, потому что она дает вероятность точки xна распределении.

— Kare
источник

25

Там, где проводится различие между функцией вероятности и плотностью *, pmf применяется только к дискретным случайным переменным, а pdf применяется к непрерывным случайным переменным.

* формальные подходы могут включать оба и использовать один термин для них

Cdf применяется ко всем случайным переменным, включая те, которые не имеют ни pdf, ни pmf.

введите описание изображения здесь

( Смешанное распределение - это не единственный случай, когда дистрибутив не имеет pdf или pmf, но это довольно распространенная ситуация - например, рассмотрите количество осадков в день или сумму денег, выплаченную в претензиях по полис страхования имущества, любой из которых может быть смоделирован непрерывным распределением с нулевым раздуванием)

Cdf для случайной величины дает $X$ $P(X\leq x)$

PMF для дискретной случайной величины дает . $X$ $P(X=x)$

PDF сам по себе не дает вероятности , но относительные вероятности; непрерывные распределения не имеют точечных вероятностей. Чтобы получить вероятности из PDF-файлов, вам нужно интегрировать через некоторый интервал - или взять разницу двух значений PDF.

Трудно ответить на вопрос «содержат ли они одинаковую информацию», потому что это зависит от того, что вы имеете в виду. Вы можете перейти от pdf к cdf (через интеграцию) и из pmf в cdf (посредством суммирования), а также из cdf в pdf (через дифференцирование) и из cdf в pmf (через дифференцирование), поэтому, если существует pmf или pdf, он содержит ту же информацию, что и cdf.

— Glen_b - Восстановить Монику
источник

1

Глен, не могли бы вы помочь, предоставив некоторую ссылку, где я мог бы прочитать о «PDF, дающем относительные вероятности»? Это очень интересно, и я не помню, чтобы видел это в моих книгах. Благодарю.

— Алекос Пападопулос

@Alecos Это просто (возможно, плохо сформулированное) объяснение того факта, что, хотя

не является вероятностью, так как

f (x)

$f(x)$

- это вероятность нахождения в

, тогда

можно рассматривать как отношение вероятности того, что переменная с плотностью

находится на очень небольшом расстоянии от

к отношению, что переменная с плотностью

находится в том же интервале. В этом смысле он выражает «относительную вероятность».

f (x) d x

$f(x)\,dx$

(x, x + d x)

$(x,x+dx)$

f (x) / g (x)

$f(x)/g(x)$

f

$f$

x

$x$

g

$g$

— Glen_b

Понимаю. Это, безусловно, справедливо как приближение отношения вероятностей и, безусловно, присутствует в эмпирических функциях плотности, где вещи дискретны по необходимости.

— Алекос Пападопулос

10

F_{X} (x) = P {X \leq x} .

$F_X(x) = P\{X \leq x\}.$

X

$X$

C (x) = x

$C(x) = x$ , если

находится в наборе Кантора, и наибольшая нижняя граница в наборе Кантора, если

не является членом.) Функция Кантора является очень хорошей функцией распределения, если вы выбираете

x

$x$

x

$x$

C (x) = 0

$C(x)= 0$

x < 0

$x < 0$

C (x) = 1

$C(x) = 1$

1 < x

$1 < x$

C (x)

$C(x)$

Итак, ответ на ваш вопрос: если существует функция плотности или массы, то она является производной от CDF по некоторой мере. В этом смысле они несут «одну и ту же» информацию. НО, PDF и PMF не должны существовать. CDF должны существовать.

— Деннис
источник

2

Деннис, не могли бы вы уточнить, что вы подразумеваете под фразой « Никакой плотности в отношении какой-либо меры вообще »? Конечно, он имеет плотность (равномерную!) По отношению к себе.

— кардинал

μ

$\mu$

(Ω, σ (Ω), μ)

$(\Omega, \sigma(\Omega), \mu)$

μ

$\mu$

C (x)

$C(x)$ не имеет RN-производной.

— Деннис

3

σ

$\sigma$

2

Другие ответы указывают на тот факт, что CDF являются фундаментальными и должны существовать, тогда как PDF и PMF не существуют и не обязательно существуют.

$S^1$ .

Мне кажется, что ответ заключается в том, что основной функцией является мера вероятности , которая отображает каждое (рассматриваемое) подмножество выборочного пространства на вероятность. Затем, когда они существуют, CDF, PDF и PMF возникают из вероятностной меры.

— Джоэл Босвелд
источник

1

Как я понял, большинство учебников определяют «случайную переменную» как отображение из выборочного пространства в реальные числа. По сути, «случайная величина» является реальной.

— Нейл Дж

1

(R, B, F)

$(\mathbb{R}, \frak{B}, \mathrm{F})$

(Ω, σ (Ω), μ)

$(\Omega, \sigma(\Omega), \mu)$

Ω

$\Omega$

μ

$\mu$

F_{X} (x) = μ {ω | X (ω) \leq x} .

$F_X(x) = \mu\{\omega\, |\, X(\omega) \leq x\}.$