Стабильные распределения, которые можно умножить?

Стабильные распределения инвариантны относительно сверток. Какие подсемейства устойчивых распределений также замкнуты относительно умножения? В том смысле, что если f ∈ F и g ∈ F , то функция плотности вероятности произведения f ⋅ g (с точностью до константы нормализации) также принадлежит F ?$F$$f\in F$$g\in F$$f \cdot g$$F$

Примечание: я существенно изменил содержание этого вопроса. Но идея по сути та же самая, и теперь она намного проще. У меня был только частичный ответ, поэтому я думаю, что все в порядке.

«Стабильное распределение» - это особый вид семейства распределений масштаба масштаба. Класс устойчивых распределений параметризовано двух действительных чисел, устойчивость и перекос & beta ; ∈ [ - 1 , 1 ] .$\alpha\in(0,2]$ $\beta\in[-1,1]$

Результат цитируется в статье Википедии решает этот вопрос о закрытии по продуктам функций плотности. Когда - плотность устойчивого распределения с α < 2 , то асимптотически$f$$\alpha \lt 2$

для явно заданной функции , детали которой не имеют значения. (В частности, g будет отличен от нуля либо для всех положительных x, либо для всех отрицательных x, либо для обоих.) Следовательно, произведение любых двух таких плотностей будет асимптотически пропорционально | х | - 2 ( 1 + α ) хотя бы в одном хвосте. Поскольку 2 ( 1 + α ) ≠ 1 + α , это произведение (после перенормировки) не может соответствовать ни одному распределению в том же стабильном семействе.$g$$g$$x$$x$$|x|^{-2(1+\alpha)}$$2(1+\alpha)\ne 1+\alpha$

(Действительно, из - за для любой возможной & alpha ; ' ∈ ( 0 , 2 ] , произведение любых три таких функций плотности не может быть даже функцией плотности любого распределения стабильного. Это разрушает любую надежду распространения идеи закрытия продукта с одного стабильного дистрибутива на набор стабильных дистрибутивов.)$3(1+\alpha) \ne 1+\alpha^\prime$$\alpha^\prime\in(0,2]$

Единственная оставшаяся возможность - это . Это нормальные распределения с плотностями, пропорциональными exp ( - ( x - μ ) 2 / ( 2 σ 2 ) ) для параметров местоположения и масштаба μ и σ . Нетрудно проверить, что произведение двух таких выражений имеет одинаковую форму (потому что сумма двух квадратичных форм в x является другой квадратичной формой в x ).$\alpha=2$$\exp(-(x-\mu)^2/(2\sigma^2))$$\mu$$\sigma$$x$$x$

Таким образом, единственный ответ заключается в том, что семейство нормальных распределений является единственным стабильным распределением, замкнутым на произведение плотности.

Я знаю, что это частичный ответ, и я не эксперт, но это может помочь: если один из двух унимодальных PDF-файлов является вогнутым, то их свертка является унимодальной. Благодаря Ибрагимову (1956) , благодаря этим заметкам . Очевидно, что если оба являются лог-вогнутыми, то свертка также является лог-вогнутой.

Что касается закрытия продукта, только «чистый» результат я знаю для распределения продукта является предельная теорема описано в этом math.se ответ .

Как насчет усеченной версии этих ? Ограниченное равномерное распределение является ограничивающим случаем его параметра формы, и, насколько мне известно, они унимодальные и лог-вогнутые, поэтому у них есть унимодальные, лог-вогнутые свертки. Я понятия не имею об их продуктах. Когда у меня будет больше времени на этой неделе, я смогу попытаться запустить некоторые симуляции, чтобы увидеть, получаю ли я вогнутые в лог продукты с усеченным распределением ошибок. Возможно, Говиндараджулу (1966) поможет.

Я не уверен, какова политика по кросспостингу, но похоже, что математика может помочь и вам. Из любопытства вы пытаетесь построить алгебраическую структуру из вероятностных распределений?