Понимание критерия хи-квадрат и распределения хи-квадрат

Я пытаюсь понять логику теста хи-квадрат.

Критерий хи-квадрат равен . Затем сравнивается с распределением хи-квадрат, чтобы определить значение p., чтобы отклонить или не принять нулевую гипотезу. : наблюдения получены из распределения, которое мы использовали для создания наших ожидаемых значений. Например, мы могли бы проверить, дается ли вероятность получения как мы ожидаем. Таким образом, мы переворачиваем 100 раз и находим и . Мы хотим сравнить наш результат с ожидаемым ( ). Мы могли бы также использовать биномиальное распределение, но дело не в этом… Вопрос в следующем: χ2H0pnH1-nH100⋅$\chi ^2 = \sum \frac{(obs-exp)^2}{exp}$$\chi ^2$$H_0$head$p$$n_H$ Heads$1-n_H$ tails$100 \cdot p$

Не могли бы вы объяснить, почему, согласно нулевой гипотезе, следует распределению хи-квадрат?$\sum \frac{(obs-exp)^2}{exp}$

Все, что я знаю о распределении хи-квадрат, это то, что распределение хи-квадрат степени является суммой стандартного нормального распределения квадрате.$k$$k$

Мы могли бы также использовать биномиальное распределение, но дело не в этом ...

Тем не менее, это наша отправная точка даже для вашего актуального вопроса. Я расскажу об этом несколько неформально.

Давайте рассмотрим с биномиальным случаем более широко:

$Y\sim \text{Bin}(n,p)$

Предположим, что и таковы, что хорошо аппроксимируется нормалью с тем же средним и дисперсией (некоторые типичные требования: не мало, или что не маленький).$n$$p$$Y$$\min(np,n(1-p))$$np(1-p)$

Тогда будет примерно . Здесь - количество успехов.$(Y-E(Y))^2/\text{Var}(Y)$$\sim\chi^2_1$$Y$

Мы имеем и .$E(Y) = np$$\text{Var}(Y)=np(1-p)$

(В тестовом случае известно, а указано в . Мы не делаем никакой оценки.)$n$$p$$H_0$

Так что будет примерно .$(Y-np)^2/np(1-p)$$\sim\chi^2_1$

Обратите внимание, что . Также обратите внимание, что .$(Y-np)^2 = [(n-Y)-n(1-p)]^2$$\frac{1}{p} + \frac{1}{1-p} = \frac{1}{p(1-p)}$

Следовательно,$\frac{(Y-np)^2}{np(1-p)} = \frac{(Y-np)^2}{np}+\frac{(Y-np)^2}{n(1-p)}\\ \quad= \frac{(Y-np)^2}{np}+\frac{[(n-Y)-n(1-p)]^2}{n(1-p)} \\ \quad= \frac{(O_S-E_S)^2}{E_S}+\frac{(O_F-E_F)^2}{E_F}$

Что является просто статистикой хи-квадрат для биномиального случая.

Таким образом, в этом случае статистика хи-квадрат должна иметь распределение квадрата (приблизительно) стандартно-нормальной случайной величины.