Построение дискретного р.в., имеющего в качестве опоры все рациональные числа в

Это конструктивистское продолжение этого вопроса .

Если мы не можем иметь дискретную равномерную случайную переменную, имеющую в качестве поддержки все рациональные числа в интервале $[0,1]$ , то следующая лучшая вещь:

Построим случайную величину $Q$ которая имеет эту опору, $Q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$ и которая следует некоторому распределению. И мастер во мне требует, чтобы эта случайная переменная была построена из существующих распределений, а не создана путем абстрактного определения того, что мы хотим получить.

Итак, я придумал следующее:

Пусть $X$ - дискретная случайная величина, следующая за геометрическим распределением-вариантом II с параметром $0<p<1$ , а именно

Пусть также $Y$ - дискретная случайная величина, следующая за геометрическим распределением-вариантом I с одинаковым параметром $p$ , а именно

$X$ и$Y$ независимы. Определите теперь случайную величину

и рассмотрим условное распределение

Проще говоря, «условный - это отношение X к Y, условное, если X меньше или равно Y ». Поддержка этого условного распределения { 0 , 1 , 1 / 2 , 1 / 3 , . , , , 1 / к , 1 / ( K + 1 ) , . , , , 2 / 3 , 2 /$Q$$X$$Y$$X$$Y$ .$\{0,1,1/2,1/3,...,1/k,1/(k+1),...,2/3,2/4,...\} = \mathbb{Q}\cap[0,1]$

«Вопрос»: Может ли кто-нибудь предоставить соответствующую функцию условной вероятности?

Комментарий спросил "это должно быть закрытой формой"? Поскольку то, что в настоящее время представляет собой замкнутую форму, не так однозначно, позвольте мне выразить это следующим образом: мы ищем функциональную форму, в которую мы можем ввести рациональное число из и получить вероятность (для некоторых заданное значение параметра p, конечно), что приводит к показательному графику pmf. А затем измените p, чтобы увидеть, как меняется график.$[0,1]$$p$$p$

Если это поможет, то мы можем открыть одну или обе границы поддержки, хотя эти варианты лишат нас возможности однозначно отобразить верхние и / или нижние значения pmf . Кроме того, если мы открываем верхнюю границу, то мы должны рассмотреть обусловливающее событие .$\{X<Y\}$

В качестве альтернативы, я приветствую также другие rv, которые имеют эту поддержку, если они идут вместе со своим pmf .

Я использовал Геометрическое распределение, потому что у него есть два варианта, один из которых не содержит ноль в опоре (чтобы избежать деления на ноль). Очевидно, что можно использовать другие дискретные rv, используя некоторое усечение.

Я наверняка вознагражу за этот вопрос щедростью, но система не сразу разрешает это.

Рассмотрим дискретное распределение с носителем на множестве { ( p , q $F$ с вероятностными массами$\{(p,q)\,|\, q \ge p \ge 1\}\subset \mathbb{N}^2$

Это легко суммировать (все вовлеченные ряды являются геометрическими), чтобы продемонстрировать, что это действительно распределение (полная вероятность равна единице).

Для любого ненулевого рационального числа пусть a / b = x будет его представлением в нижних терминах: то есть b > 0 и gcd ( a , b ) = 1 .$x$$a/b=x$$b\gt 0$$\gcd(a,b)=1$

индуцирует дискретное распределение G на [ 0 , 1 ] ∩ Q по правилам$F$$G$$[0,1]\cap \mathbb{Q}$

(и ). Каждое рациональное число в ( 0 , 1 ] имеет ненулевую вероятность (если вы должны включить 0 в число значений с положительной вероятностью, просто уберите часть вероятности из другого числа - например, 1 - и присвойте ему значение 0 ).$G(0)=0$$(0,1]$$0$$1$$0$

Чтобы понять эту конструкцию, посмотрите на это изображение :$F$

получаются суммированием площадей всех окружностей, лежащих на каждой линии. Например, G ( 1 ) получается путем суммирования площадей всех (красных) кругов вдоль главной диагонали наклона 1 , определяемых как F ( 1 , 1 ) + $F$ дает вероятностные массы во всех точках с положительными интегральными координатами. Значения F представлены цветными областями круглых символов. Линии имеют наклоны p / q для всех возможных комбинаций координат p и q, появляющихся на графике. Они окрашены так же, как круглые символы: согласно их наклонам. Таким образом, наклон (который явно находится в диапазоне от 0 через 1 ) и цвет соответствует аргументу из G , а значения $p,q$$F$$p/q$$p$$q$$0$$1$$G$$G$$G(1)$$1$ = 3 / 8 + 3 / 32 + 3 / 128 + ⋯ = 1 $F(1,1)+F(2,2)+F(3,3)+\cdots$ .$3/8 + 3/32 + 3/128 + \cdots = 1/2$

На этом рисунке показано приближение к достигается за счет ограничения д ≤ 100 : это участки его значения в 3044 рациональных чисел в диапазоне от 1 / 100 через 1 . Наибольшие массы вероятности $G$$q\le 100$$3044$$1/100$$1$.$\frac{1}{2},\frac{3}{14},\frac{1}{10},\frac{3}{62},\frac{3}{62},\frac{1}{42},\ldots$

Вот полный CDF (с точностью до разрешения изображения). Шесть чисел, перечисленных выше, дают размеры видимых переходов, но каждая часть CDF состоит из переходов без исключения:$G$

Я соберу свои комментарии вместе и опубликую их как ответ только для ясности. Я ожидаю, что вы не будете очень довольны, так как все, что я делаю, сводит вашу проблему к другой проблеме.

Моя запись:

представляет собой RV, носитель является Q ∩ [ 0 , 1 $Q$$\mathbb{Q}\cap\left[0,1\right]$ - мой является не такой же , как Q в OP конструкции из его $Q$$Q$$\frac{X}{Y}$ . Мы определим это используя Y и f , которые я представлю ниже.$Q$$Y$$f$

- любой RV, чья поддержка N$Y$ - Y, например, заданный OP, будет работать.$\mathbb{N}\equiv\left\{1, 2, \ldots\right\}$$Y$

любое взаимно однозначное соответствие f : N → Q$f$ а f - 1 - его обратное. Мы знаем, что они существуют.$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Q}\cap\left[0,1\right]$$f^{-1}$

Теперь я утверждаю, что могу свести вашу проблему к простому нахождению и его f - 1 :$f$$f^{-1}$

Просто позвольте и все готово. PMF для Q является Pr [ Q = q ] = $Q=f\left(Y\right)$$Q$$\Pr[Q =q] = \Pr[Y = f^{-1}(q)]$

Редактировать:

$f$

g <- function(y) {
    y <- as.integer(y)
    stopifnot(y >= 1)
    b <- 0
    a <- 0
    for (unused_index in seq(1, y)) {
        if (a >= b) {
            b <- b+1
            a <- 0
        } else {
            a <- a+1
        }
    }
    return(sprintf("q = %s / %s", a, b))
    ## return(a / b)
}