Первое предложение этого вопроса включает в себя еще одну (связанную) ошибку:
«Как мы все знаем, если вы подбрасываете монету с равным шансом посадки головок, как и с хвостами, то если вы подбрасываете монету много раз, половину времени вы получите головами, а половину - хвостами ».
Нет, мы не получим это, мы не получим головы половину времени и хвосты половину времени. Если бы мы получили это, то Игрок в конце концов не ошибся бы . Математическое выражение для этого словесного утверждения выглядит следующим образом: Для некоторого «большого» (но конечного) мы имеем , где, очевидно, обозначает число раз монета приземляется головы. Поскольку конечно, то также конечно и отличное значение от . Так что же происходит после того, сальто было сделано? Либо приземлился головами, либо нет. В обоих случаяхn′nh=n′2nhn′n′+1n′n′+1nh только что перестал быть равным "половине количества бросков".
Но, возможно, мы действительно имели в виду «невообразимо большой» ? Тогда мы заявляемn
limn→∞nh=n2
Но здесь RHS («правая сторона») содержит которое по LHS («левая сторона») перешло в бесконечность. Таким образом, RHS - это также бесконечность, и поэтому в этом утверждении говорится, что число раз, которое монета приземлится, равно бесконечности, если мы подбрасываем монету бесконечное количество раз (деление на пренебрежимо мало)n2
limn→∞nh=n2=∞
Это по существу правильное, но бесполезное утверждение , и, очевидно, не то, что мы имеем в виду.
В целом, утверждение в вопросе не имеет места, независимо от того, считается ли «общее количество бросков» конечным или нет.
Возможно, тогда мы должны заявить
limn→∞nhn=12?
Во-первых, это переводится как «Соотношение числа приземленных головок к общему количеству бросков стремится к значению когда число бросков стремится к бесконечности», что является другим утверждением - нет «половины общих бросков» Вот. Кроме того, это то, как вероятность все еще иногда воспринимается как детерминированный предел относительных частот. Проблема с этим утверждением состоит в том, что оно содержит в LHS неопределенную форму: и числитель, и знаменатель уходят в бесконечность. 1/2
Хммм, давайте внесем арсенал случайных величин . Определите случайную переменную как принимающую значение если бросок выпал на голову, если он выпал на хвост. Тогда у нас есть
Xi1i0
nhn=1n∑i=1nXi
Можем ли мы сейчас хотя бы заявить
limn→∞1n∑i=1nXi=12?
Нет . Это детерминированный предел. Он допускает все возможные реализации последовательности , и поэтому он даже не гарантирует существования предела, не говоря уже о том, что он равен . На самом деле такое утверждение можно рассматривать только как ограничение последовательности, и оно разрушило бы независимость бросков.X1/2
Что мы можем сказать, так это то, что эта средняя сумма сходится по вероятности («слабо») к (слабый закон больших чисел Бернулли),1/2
limn→∞Pr(∣∣∣1n∑i=1nXi−12∣∣∣<ε)=1,∀ε>0
и в рассматриваемом случае он также почти сходится («сильно») (борел-сильный закон больших чисел)
Pr(limn→∞1n∑i=1nXi=12)=1,
Но это вероятностные утверждения о вероятности, связанной с разницей между и , а не о пределе разницы (которая согласно ложному утверждению должна быть равна нулю - а это не так). nh/n1/2nh−nt
Следует признать, что для того, чтобы действительно понять эти два утверждения и то, как они отличаются (в «теории» и «практике») от некоторых из предыдущих, требуются определенные интеллектуальные усилия - я пока еще не требую такого глубокого понимания для себя.