Как представить кубик Рубика в структуре данных

Если я пытаюсь смоделировать кубик Рубика , как бы вы создали структуру данных для хранения состояния куба в памяти, с X числом плиток на стороне?

Что нужно учитывать:

• куб может быть любого размера
• это кубик Рубика, поэтому слои можно вращать

Что не так с простым старым массивом размера [6X][X]? Вам не нужно знать о внутренних мини-кубах, потому что вы их не видите; они не являются частью состояния куба. Скройте два уродливых метода за красивым и простым в использовании интерфейсом, протестируйте его до смерти и вуаля, все готово!

Следует отметить, что я страстный любитель скорости, но я никогда не пытался программно представлять кубик Рубика в алгоритме или структуре данных.

Вероятно, я бы создал отдельные структуры данных для захвата уникальных аспектов каждого блока в кубе.

В кубе есть 3 различных типа блоков:

1. Угловой блок - у него есть три цветных грани и три смежные части, с которыми он будет разделять сторону в любое время.

2. Edge Block - имеет две цветные грани и имеет 4 смежных фигуры, с которыми у него будет общая сторона в любое время. В блоках 3х3 всегда 2 центральных и 2 угловых.

3. Центральный блок - в кубе 3х3 эта часть не подвижна, однако ее можно вращать. У него всегда будет 4 смежных краевых блока. В больших кубах есть несколько центральных блоков, которые могут делиться с другим центральным блоком или краевой частью. Центральные блоки никогда не примыкают к угловому блоку.

Зная это, у Блока может быть список ссылок на другие блоки, к которым он прикасается. Я бы сохранил другой список списков, который был бы списком блоков, представляющих одну грань куба, и списком, в котором хранятся ссылки на каждую грань куба.

Каждое лицо куба будет представлено как уникальное лицо.

С этими структурами данных было бы довольно легко написать алгоритм, который выполняет преобразование вращения на каждой грани, перемещая соответствующие блоки в соответствующие списки и из них.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Важное примечание, эти списки должны быть заказаны, конечно, но я забыл упомянуть об этом. Например, если я переверну правую сторону, то левый угловой блок правой стороны переместится в правый угол правой стороны и повернется по часовой стрелке.

Когда я думаю об этой проблеме, я думаю о статическом кубе с цветами, движущимися по нему известными узорами. Так....

Объект Cube содержит 6 объектов Side, которые остаются фиксированными с индексами 0-5. Каждая сторона содержит 9 объектов позиции, которые остаются фиксированными с индексами 0-8. Каждая позиция содержит цвет.

Для простоты обрабатывайте каждое действие с шагом в четверть оборота. Есть 3 оси вращения, каждая в 2 возможных направлениях, всего 6 возможных действий на кубе. С этой информацией становится довольно простой задачей наметить 6 возможных действий на кубе.

Таким образом, зеленый цвет на стороне 6, позиции 3, может перемещаться в сторону 1, позицию 3 или сторону 2, позицию 7, среди прочего, в зависимости от предпринятых действий. Я недостаточно изучил это, чтобы найти какие-либо математические переводы, но, вероятно, появятся шаблоны, которые вы можете использовать в коде.

Используя структуру данных, как я могу узнать, разрешим ли определенный куб в определенном состоянии? Я сам боролся с этим вопросом и пока не нашел ответа.

Для этого никогда не начинайте со случайного состояния куба. Вместо этого начните с решенного состояния и программно выполните n действий, чтобы перевести куб в случайное начальное состояние. Поскольку вы только предприняли законные действия, чтобы добраться до текущего состояния, куб должен быть разрешимым.

Я обнаружил, что система координат XYZ - это простой способ обращения к кубу Рубика, а матрицы вращения - простой, общий способ реализации вращений.

Я создал класс Piece, содержащий вектор позиции (x, y, z). Кусок можно вращать, применяя к его положению матрицу вращения (умножение матрицы на вектор). Пьеса также отслеживает цвета в кортеже (cx, cy, cz), давая цвета, обращенные вдоль каждой оси. Небольшое количество логики обеспечивает правильное обновление этих цветов во время поворота: поворот на 90 градусов в плоскости XY означает, что мы должны поменять местами значения cxи cy.

Поскольку вся логика вращения инкапсулирована в классе Piece, Cube может хранить неупорядоченный список Pieces, и вращения могут выполняться в общем виде. Чтобы сделать поворот левой грани, выберите все фигуры с координатой х -1 и примените соответствующую матрицу вращения к каждой фигуре. Чтобы сделать вращение всего куба, примените одну и ту же матрицу вращения к каждой части.

Эта реализация проста и имеет несколько тонкостей:

1. Положение объекта Piece изменится, а его цвета - нет. Это означает, что вы можете попросить красно-зеленый предмет, повесить на объект, сделать несколько поворотов и проверить тот же объект, чтобы увидеть, где оказался красно-зеленый предмет.
2. Каждый тип фигуры (ребро, центр, угол) имеет уникальный шаблон координат. Для куба 3x3 угловой элемент не имеет нулей в своем векторе положения ( (-1, 1, 1)), у ребра ровно один ноль ( (1, 0, -1)), а у центрального элемента два ноля ( (-1, 0, 0)).
3. Матрицы вращения, которые работают для куба 3x3, будут работать для куба NxN.

Недостатки:

1. Умножение матрицы на вектор происходит медленнее, чем перестановка значений в массивах.
2. Линейное время поиска пьес по позиции. Вам нужно будет хранить кусочки во внешней структуре данных и обновлять ее во время поворотов для постоянного поиска по позиции. Это лишает элегантности использования матриц вращения и пропускает логику вращения в ваш класс Cube. Если бы я реализовывал какой-либо алгоритм поиска на основе поиска, я бы использовал другую реализацию.
3. Анализ паттернов (во время решения) не так хорош, как мог бы быть. Часть не знает о смежных частях, и анализ будет медленным из-за вышеуказанных проблем с производительностью.

Вы можете использовать простой массив (каждый элемент имеет отображение 1 к 1 на квадрат на грани) и моделировать каждый поворот с определенной перестановкой

Вы можете избежать трёх существенных перестановок: поверните срез с осью через переднюю грань, поверните куб вокруг вертикальной оси и поверните куб по горизонтальной оси через левую и правую грани. все другие ходы могут быть выражены некоторым объединением этих трех.

самый простой способ узнать, является ли куб разрешимым, - это решить его (найти серию перестановок, которые решат куб), если у вас получится 2 ребра, которые поменялись местами, один перевернутый край, один перевернутый угол или 2 поменялись углами у вас есть неразрешимый куб

Первое условие, что это может быть решено, должно состоять в том, чтобы присутствовала каждая часть, и чтобы цвета на каждой части могли быть использованы для сборки «совкового» куба. Это относительно тривиальное условие, истинность которого можно определить с помощью простого контрольного списка. Цветовая схема «стандартного» куба определена , но даже если вы не имеете дело со стандартным кубом, их всего 6! возможные комбинации решаемых граней.

Как только у вас все части и цвета будут правильными, тогда решает вопрос, разрешима ли какая-либо конкретная физическая конфигурация. Не все из них. Самый наивный способ проверить это - запустить алгоритм решения куба и посмотреть, заканчивается ли он решенным кубом. Я не знаю, существуют ли причудливые комбинаторные методы для определения разрешимости без фактической попытки решить куб.

Что касается структуры данных ... это почти не имеет значения. Сложность состоит в правильном преобразовании и возможности представить состояние куба таким образом, чтобы вы могли аккуратно работать с доступными алгоритмами в литературе. Как указано в Кленовом валу, существует три типа частей. Литература по решению кубика Рубика всегда относится к частям по их типу. Преобразования также представлены в общих чертах (посмотрите примечание Singmaster ). Кроме того, все решения, которые я видел, всегда ссылаются на одну фигуру в качестве ориентира (обычно помещая белую центральную часть внизу).

Поскольку вы уже получили отличные ответы, позвольте мне добавить только детали.

Независимо от вашего конкретного представления, обратите внимание, что линзы являются очень хорошим инструментом для «увеличения» различных частей куба. Например, посмотрите на функцию cycleLeftв этом коде на Haskell . Это универсальная функция, которая циклически переставляет любой список длины 4. Код для выполнения перемещения L выглядит следующим образом:

moveL :: Aut (RubiksCube a)
moveL =
    cong cube $ cong leftCols cycleLeft
              . cong leftSide rotateSideCW

Таким образом, cycleLeftдействует на мнение, данное leftCols . Точно так же, rotateSideCWкоторая является универсальной функцией, обращенной к ее повернутой версии, работает с представлением, данным leftSide. Другие шаги могут быть реализованы аналогичными способами.

Цель библиотеки Haskell - создавать красивые картинки. Я думаю, что это удалось:

Вы, кажется, задаете два отдельных вопроса.

1. Как изобразить куб с числом сторон X?

Если вы собираетесь смоделировать кубик Рубика в реальном мире, то все кубики Рубика имеют 6 сторон. Я думаю, что вы имеете в виду "X количество плиток на измерение на сторону". Каждая сторона оригинального кубика Рубика - 3х3. Другие размеры включают 4x4 (куб Профессора), 5x5 и 6x6.

Я хотел бы представить данные с 6 сторон, используя «стандартную» запись решения куба:

• FRONT: лицо, обращенное к решателю
• НАЗАД
• ПРАВИЛЬНО
• ОСТАВИЛ
• UP
• ВНИЗ

Каждая сторона представляет собой двумерный массив X от X.

Мне нравится идея @maple_shaft по-разному представлять разные фигуры (мини-кубы): центральные, краевые и угловые фигуры несут 1, 2 или 3 цвета соответственно.

Я бы представлял отношения между ними в виде (двунаправленного) графа с ребрами, соединяющими соседние элементы. Каждая часть будет иметь массив прорезей для кромок (соединений): 4 прорези в центральной части, 4 прорези в краевых частях, 3 прорези в угловых деталях. В качестве альтернативы, центральные элементы могут иметь 4 соединения с краевыми элементами и 4 для угловых элементов отдельно, и / или краевые элементы могут иметь 2 соединения с центральными элементами и 2 с угловыми элементами отдельно.

Эти массивы упорядочены так, что итерации по краям графа всегда представляют «одно и то же» вращение по модулю вращения куба. То есть, например, для центральной части, если вы поворачиваете куб так, чтобы его грань была сверху, порядок соединений всегда по часовой стрелке. Аналогично для краевых и угловых элементов. Это свойство сохраняется после ротации граней (или мне так кажется сейчас).

• Поиск частей, принадлежащих ребру, тривиален.
• Поиск фигур, принадлежащих лицу, тривиален.
• Поиск граней, которые находятся в заданном направлении к данной грани или противоположной грани, пересекает 2 или 3 четко определенных ссылки.
• Чтобы повернуть грань, обновите соединения всех частей, соединенных с центральной частью лица.

Обнаружение явно неразрешимых условий (переставленные / перевернутые края, переставленные углы), если мы надеемся, тоже простое, потому что найти части определенного типа и их ориентацию просто.

Как насчет узлов и указателей?

Предполагая, что всегда есть 6 граней, и этот 1 узел представляет 1 квадрат на 1 грани:

r , g , b
r , g , b
r , g , b
|   |   |
r , g , b - r , g , b
r , g , b - r , g , b
r , g , b - r , g , b

Узел имеет указатель на каждый узел рядом с ним. Вращение круга просто перемещает указатель (Количество узлов / Число граней) на -1 узел, в данном случае 2. Поскольку все вращения являются вращениями окружности, вы просто строите одну rotateфункцию. Он рекурсивный, перемещает каждый узел на один пробел и проверяет, достаточно ли он их переместил, поскольку он соберет количество узлов, и всегда будет четыре грани. Если нет, увеличьте число перемещенных значений и снова вызовите поворот.

Не забывайте, что он дважды связан, поэтому обновите также и новые заостренные узлы. Всегда будет Высота * Ширина Количество перемещаемых узлов, с одним обновленным указателем на узел, поэтому должно быть Высота * Ширина * 2 количества обновленных указателей.

Поскольку все узлы указывают друг на друга, просто ходите по кругу, обновляя каждый узел, когда вы к нему подходите.

Это должно работать для любого размера куба, без крайних случаев или сложной логики. Это просто указатель ходьбы / обновления.

Исходя из личного опыта, использование набора для отслеживания каждой вращающейся части куба работает хорошо. Каждый вложенный куб состоит из трех наборов, независимо от размера кубика Рубика. Таким образом, чтобы найти подкуб, где на кубике Рубика вы просто берете пересечение трех наборов (в результате получается один подкуб). Чтобы сделать ход, удалите затронутых суб кубов из наборов, участвующих в движении, а затем верните их обратно в наборы, которые принимают их в результате движения.

Куб 4 на 4 будет иметь 12 комплектов. 6 комплектов для 6 граней и 6 комплектов для шести полос, которые идут вокруг куба. У граней по 16 субкубов, а у каждой по 12 субкубов. Всего 56 субкубов. Каждый вложенный куб содержит информацию о цвете и направлении цветов. Сам кубик Рубика представляет собой массив 4 на 4 на 4, причем каждый элемент содержит информацию, состоящую из 3 наборов, которые определяют подкуб в этом месте.

В отличие от остальных 11 ответов, в этой структуре данных используется пересечение множеств для определения местоположения каждого подблока в кубе. Это избавляет от необходимости обновления ближайших субблоков при внесении изменений.