Как найти сглаженные оценки производной и второй производной сигнала?

10

$\Delta t$ $f_i(t_i=i\Delta t)$ $i = 0,\ldots,n-1$ $f'(t)$ $f''(t)$

Моей первой мыслью было оценить производные по центральным различиям:

\begin{aligned} f^{'} (t_{i}) & = \frac{f (t_{i + 1}) - f (t_{i - 1})}{2 Δ t} \\ f^{″} (t_{i}) & = \frac{f (t_{i + 1}) - 2 f (t_{i}) + f (t_{i - 1})}{(Δ t)^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} f'(t_{i})&=\frac{f(t_{i+1})-f(t_{i-1})}{2\Delta t}\\ f''(t_{i})&=\frac{f(t_{i+1})-2f(t_{i})+f(t_{i-1})}{(\Delta t)^2} \end{align}$

Однако сигнал может иметь много высокочастотных шумов, которые могут вызывать быстрые колебания и . $f'$ $f''$

Каков наилучший способ найти «сглаженные» оценки и ? $f'$ $f''$

filters smoothing

— Энди
источник

6

Вероятно, это зависит больше от ваших данных. Просто знайте, поскольку дифференцирование является линейной операцией, если вы выбираете любой линейный фильтр для сглаживания f 'и f' ', это эквивалентно сглаживанию f с использованием того же фильтра, а затем его производных.

Можете ли вы опубликовать несколько фотографий или дополнительную информацию о сигнале, который вы хотите дифференцировать? Вероятно, вам нужен какой-то фильтр нижних частот для сглаживания сигнала. Пара действительно простых опций включает однополюсный рекурсивный фильтр, такой как , или фильтр Ганна, который просто свертывает сигнал с окном Ханна. Опция фильтра Ханна хороша тем, что она линейно-фазовая. Если вы знаете частотный диапазон, который вас интересует, вы можете просто разработать подходящий фильтр нижних частот в частотной области. $y(n) = a \cdot x(n) + (1-a) \cdot y(n-1)$

— schnarf
источник

Спасибо, Шнарф! Так как сглаживание с последующим дифференцированием равно дифференцированию с последующим сглаживанием; Я могу также сгладить исходный сигнал, свернув, например, с окном Ханна? Как насчет более простого подхода использования конечной разности по большему промежутку: f '(t) ~ = [f (t + 10 * Dt) -f (t-10 * Dt)] / (20 * Dt), будет ли это дать достаточно хорошую оценку сглаженной производной?

— Энди

4

Савицкий-Гол фильтр обеспечивает плавные оценки сигнала и первые производных.

Реализацию MATLAB можно найти здесь .

— eglaser
источник