Какие БИХ-фильтры приближаются к гауссову?

Так что недавно меня осенило, что фильтры Бесселя, несмотря на то, что они перечислены вместе с другими распространенными типами, на самом деле являются чудаком, принадлежащим к другому «классу», и я пытаюсь узнать об этом больше.

Прямоугольная амплитудная характеристика представляет идеальную частотную характеристику, поскольку полоса перехода равна нулю, а полоса задерживания имеет бесконечное затухание. С другой стороны, гауссовский амплитудный отклик представляет собой идеальный отклик во временной области, поскольку в импульсном отклике и пошаговом отклике не происходит никаких выбросов. Многие ответы, полученные на практике, являются приближением к этим идеальным ^{источникам.}

Таким образом, фильтр brickwall является сверточным с функцией sinc и имеет следующие свойства частотной области:

• Плоская полоса пропускания
• Нулевой стопбэнд
• Бесконечная скорость спада / нет переходной полосы

Это не причинно и неосуществимо из-за бесконечных хвостов в обоих направлениях. Он аппроксимируется этими БИХ-фильтрами, причем приближение улучшается с увеличением порядка:

• Butterworth (максимально плоская полоса пропускания)
• Чебышев (максимальная скорость спада с пульсацией в полосе останова или в полосе пропускания)
• Эллиптический (максимальная скорость спада с полосой пропускания и полосой пропускания)
• Legendre (максимальная скорость спада при монотонной полосе пропускания)

Фильтр Гаусса является свертка с функцией Гаусса, и имеет следующие свойства временной области:

• Нулевое превышение
• Минимальное время нарастания и спада
• Минимальная групповая задержка

Это нереализуемо по тем же причинам, что и функция sinc, и может быть аппроксимировано этими БИХ-фильтрами, более точно по мере увеличения порядка:

• Бессель (максимально плоская групповая задержка) ^{по 1 и 2}

$e^{-{1 \over 2}(\pi \omega)^2}$

Итак, мои вопросы:

Пока все правильно? Если да, существуют ли другие БИХ-фильтры, которые приближаются к гауссовскому? Для чего они оптимизированы? Может быть тот, который минимизирует выброс?

Если вы ищете «IIR Gaussian», вы можете найти несколько вещей (Deriche? Van Vliet?), Но я не знаю, действительно ли они такие же, как Бессель, или они оптимизируют для какого-то другого свойства и т. Д.

В Deriche и ван Vliet фильтры эвристики. В обоих случаях они выбирают расположение полюсов и нулей, чтобы минимизировать либо среднеквадратическую разницу, либо максимальную разницу импульсной характеристики фильтра от гауссовой.

Оба фильтра являются причинно-следственными парами. Поэтому я думаю, что они не имеют фазовой ошибки или групповой задержки, но вы должны иметь возможность запускать их как в обратном направлении, так и в данных. Это делает их популярными в обработке изображений, но, возможно, ограничивает их применимость в других местах.

О том, что они являются эвристикой, свидетельствует множество бумаг, которые их подстраивают. Например, поиск в Google (в то время как я искал ссылку на статью Deriche) обнаружил эту проблему, которая пытается решить проблему, состоящую в том, что фильтр Deriche Производная-Гаусса не имеет точно 0 DC-ответа. Есть также несколько интересных вопросов о правильной инициализации граничных условий .

Хороший ресурс нашел следующий обзор: Дейв Хейл, Фильтры рекурсивного Гаусса , Центр исследований волновых явлений Колорадской школы шахт, CWP-546.

Я думаю, что вы дали хороший обзор существующих аналитических решений для БИХ-фильтров с дискретным временем. Но я бы также добавил фильтры Бесселя в список фильтров, аппроксимирующих идеальные характеристики частотно-избирательных фильтров. Его величина отклика не показывает такой резкий переход, как у других фильтров того же порядка, но это цена, которую вы платите за почти линейную фазу в полосе пропускания. Таким образом, фильтр Бесселя является компромиссом между частотно-избирательной амплитудной характеристикой и хорошей фазовой характеристикой.

Для аппроксимации гауссовского фильтра с помощью БИХ-фильтров я не знаю ни одного аналитического решения, кроме упомянутого вами фильтра Бесселя. Но обратите внимание, что фильтр Бесселя не предназначен для аппроксимации фильтра Гаусса, поэтому я не уверен, насколько он хорош в аппроксимации такого фильтра. Если вы действительно хотите использовать фильтр БИХ для этой цели, я бы посоветовал вам перейти к числовому приближению фильтра Гаусса. Есть несколько вариантов, как это сделать.

Вы можете попытаться аппроксимировать фильтр Гаусса в частотной области. Проблема в том, что вы должны принять какое-то решение относительно желаемой фазы ответа. Приближение чистой величины с минимальным фазовым откликом, скорее всего, приведет к очень плохим свойствам во временной области. Если вы укажете линейную желаемую фазу, вы получите сложную задачу аппроксимации (потому что вы аппроксимируете сложную частотную характеристику величиной и фазой). Хотя такая проблема приближения может быть довольно сложной для решения, в литературе существуют методы.

Более простой и, вероятно, лучший подход заключается в приближении фильтра Гаусса во временной области. Метод Прони был бы хорошей отправной точкой.

Обратите внимание, что это только мои мысли по теме. Я сам не пытался создать гауссов фильтр IIR. Я бы на самом деле пошел на реализацию FIR, если нет веских причин против этого.

РЕДАКТИРОВАТЬ: еще несколько замечаний, касающихся вопроса, приближает ли фильтр Бесселя гауссовский фильтр или нет. Я не знаю ни одного значимого критерия ошибки, который фильтр Бесселя минимизирует при аппроксимации фильтра Гаусса. Я был бы рад узнать об этом, хотя. Люди могут утверждать, что импульсный отклик фильтра Бесселя похож на гауссовский, или что его частотный отклик напоминает гауссовский, но я пока не видел никаких доказательств того, что фильтры Бесселя приближают гауссовский в каком-либо смысле, и что ошибка аппроксимации переходит к ноль при увеличении порядка фильтра. Я не отрицаю, что он больше похож на гауссовский, чем другие стандартные фильтры (Баттерворт, Чебышев и т. Д.), Но это не важно для вопроса.

Ниже приведены четыре графика импульсных характеристик фильтров Бесселя (порядки 5, 10, 15, 20), разработанных в октаве (функция себя). Как видите, звон в хвосте не уменьшается с увеличением порядка фильтров, и я не вижу, как эти фильтры приближаются к гауссову, и если да, то по какому критерию оптимальности. Однако, если кто-нибудь сможет просветить меня об этом, я буду более чем счастлив.