Какие математические инструменты существуют для понимания модулированного шума?

Предположим, у нас есть сигнал $n$ который состоит из гауссовского белого шума. Если мы модулируем этот сигнал, умножая его на , результирующий сигнал по-прежнему имеет белый спектр мощности, но очевидно, что шум теперь «сгруппирован» во времени. Это пример циклостационарного процесса . $\sin 2\omega t$

x (t) = n (t) \sin 2 ω t

$x(t) = n(t) \sin2\omega t$

Предположим, что теперь мы демодулируем этот сигнал на частоте , смешивая с синусоидальными и косинусными локальными генераторами, формируя сигналы I и Q: $\omega$

I = x (t) \times \sin ω t

$I = x(t) \times \sin\omega t$

Q = x (t) \times \cos ω t

$Q = x(t) \times \cos\omega t$

Наивно наблюдая, что спектр мощности (взятый за интервал времени, намного больший, чем ), является белым, мы могли бы ожидать, что и будут содержать белый гауссовский шум одинаковой амплитуды. Однако, что действительно происходит, так это то, что квадратура выборочно отбирает части временных рядов с высокой дисперсией, в то время как , девяносто градусов не в фазе, отбирает части с более низкой дисперсией: $x(t)$ $1/f$ $I$ $Q$ $I$ $x(t)$ $Q$

отображение модулированного шума

Результатом является то , что спектральная плотность шума в I является раз больше , чем . $\sqrt{3}$ $Q$

Очевидно, что за пределами спектра мощности должно быть что-то полезное для описания модулированного шума. В литературе моей области есть ряд доступных работ, описывающих вышеупомянутый процесс, но я хотел бы узнать, как его воспринимают в более широком смысле сообщества обработки сигналов / ЭЭ.

Каковы некоторые полезные математические инструменты для понимания и управления циклостационарным шумом? Любые ссылки на литературу также приветствуются.

Ссылки:

Нибауэр и др. «Нестационарный дробовой шум и его влияние на чувствительность интерферометров». Phys. Rev. A 43, 5022–5029 .

noise modulation cyclostationary-random-process

— nibot
источник

Чтобы получить результаты, которые вы показываете, ваш демодулятор должен преобразовывать с понижением частоты с той же несущей частотой,

, а не только

2 ω

$2 \omega$

ω

$\omega\$

— Джейсон Р

@ Джейсон Р, А, я понял, что ошибся с исходной модуляцией

. Это связано с ошибкой перехода от пуассоновского шума к гауссовскому.

2 ω

$2\omega$

— нибот

Я не уверен, что конкретно вы ищете здесь. Шум обычно описывается через его спектральную плотность мощности или, что то же самое, через автокорреляционную функцию; автокорреляционная функция случайного процесса и его PSD являются парой преобразования Фурье. Белый шум, например, имеет импульсную автокорреляцию; это преобразуется в плоский спектр мощности в области Фурье.

Ваш пример (хотя и несколько непрактичный) аналогичен приемнику связи, который наблюдает модулированный по несущей белый шум на несущей частоте $2 \omega$ , Приемник примера весьма удачен, поскольку у него есть свой генератор, который связан с генератором; между синусоидами, сгенерированными на модуляторе и демодуляторе, отсутствует фазовый сдвиг, что обеспечивает возможность «идеального» преобразования с понижением частоты в основную полосу. Это не практично само по себе; Существуют многочисленные структуры для приемников когерентной связи. Однако шум обычно моделируется как аддитивный элемент канала связи, который не коррелирован с модулированным сигналом, который приемник пытается восстановить; для передатчика было бы редко фактически передавать шум как часть его модулированного выходного сигнала.

Однако с учетом этого, взгляд на математику за вашим примером может объяснить ваши наблюдения. Для того, чтобы получить результаты, которые вы описываете (по крайней мере, в исходном вопросе), модулятор и демодулятор имеют генераторы, которые работают на одинаковой опорной частотой и фазой. Модулятор выводит следующее:

\begin{aligned} n (t) & \sim N (0, σ^{2}) \\ x (t) & = n (t) \sin (2 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} n(t) &\sim \mathcal{N}(0, \sigma^2) \\ x(t) & = n(t) \sin(2\omega t) \end{align}$

Приемник генерирует преобразованные с понижением частоты I и Q сигналы следующим образом:

\begin{aligned} I (t) & = x (t) \sin (2 ω t) = n (t) \sin^{2} (2 ω t) \\ Q (t) & = x (t) \cos (2 ω t) = n (t) \sin (2 ω t) \cos (2 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} I(t) &= x(t) \sin(2 \omega t) = n(t) \sin^2(2 \omega t)\\ Q(t) &= x(t) \cos(2 \omega t) = n(t) \sin(2 \omega t) \cos(2 \omega t) \end{align}$

Некоторые тригонометрические тождества могут помочь уточнить и немного: $I(t)$ $Q(t)$

\begin{aligned} \sin^{2} (2 ω t) & = \frac{1 - \cos (4 ω t)}{2} \\ \sin (2 ω t) \cos (2 ω t) & = \frac{\sin (4 ω t) + \sin (0)}{2} = \frac{1}{2} \sin (4 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} \sin^2(2 \omega t) &= \frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\\ \sin(2 \omega t) \cos(2 \omega t) &= \frac{\sin(4 \omega t) + \sin(0)}{2} = \frac{1}{2} \sin(4 \omega t) \end{align}$

Теперь мы можем переписать преобразованную с понижением частоты пару сигналов:

\begin{aligned} I (t) & = n (t) \frac{1 - \cos (4 ω t)}{2} \\ Q (t) & = \frac{1}{2} n (t) \sin (4 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} I(t) &= n(t) \frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\\ Q(t) &= \frac{1}{2} n(t) \sin(4 \omega t) \end{align}$

Входной шум имеет нулевое среднее значение, поэтому и также имеют нулевое среднее значение. Это означает, что их отклонения: $I(t)$ $Q(t)$

\begin{aligned} σ_{I (t)}^{2} & = E (I^{2} (t)) = E (n^{2} (t) {[\frac{1 - \cos (4 ω t)}{2}]}^{2}) = E (n^{2} (t)) E ({[\frac{1 - \cos (4 ω t)}{2}]}^{2}) \\ σ_{Q (t)}^{2} & = E (Q^{2} (t)) = E (n^{2} (t) \sin^{2} (4 ω t)) = E (n^{2} (t)) E (\sin^{2} (4 ω t)) \end{aligned}

$\begin{align} \sigma^{2}_{I(t)} &= \mathbb{E}(I^2(t)) = \mathbb{E}\left(n^2(t) \left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right) = \mathbb{E}\left(n^2(t)\right) \mathbb{E}\left(\left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right) \\ \sigma^{2}_{Q(t)} &= \mathbb{E}(Q^2(t)) = \mathbb{E}\left(n^2(t) \sin^2(4 \omega t)\right) = \mathbb{E}\left(n^2(t)\right) \mathbb{E}\left(\sin^2(4 \omega t)\right) \end{align}$

You noted the ratio between the variances of $I(t)$ and $Q(t)$ in your question. It can be simplified to:

\frac{σ_{I (t)}^{2}}{σ_{Q (t)}^{2}} = \frac{E ({[\frac{1 - \cos (4 ω t)}{2}]}^{2})}{E (\sin^{2} (4 ω t))}

$\frac{\sigma^{2}_{I(t)}}{\sigma^{2}_{Q(t)}} = \frac{\mathbb{E}\left(\left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right)}{\mathbb{E}\left(\sin^2(4 \omega t)\right)}$

The expectations are taken over the random process $n(t)$ 's time variable $t$ . Since the functions are deterministic and periodic, this is really just equivalent to the mean-squared value of each sinusoidal function over one period; for the values shown here, you get a ratio of $\sqrt 3$ , as you noted. The fact that you get more noise power in the I channel is an artifact of noise being modulated coherently (i.e. in phase) with the demodulator's own sinusoidal reference. Based on the underlying mathematics, this result is to be expected. As I stated before, however, this type of situation is not typical.

Although you didn't directly ask about it, I wanted to note that this type of operation (modulation by a sinusoidal carrier followed by demodulation of an identical or nearly-identical reproduction of the carrier) is a fundamental building block in communication systems. A real communication receiver, however, would include an additional step after the carrier demodulation: a lowpass filter to remove the I and Q signal components at frequency $4 \omega$ . If we eliminate the double-carrier-frequency components, the ratio of I energy to Q energy looks like:

\frac{σ_{I (t)}^{2}}{σ_{Q (t)}^{2}} = \frac{E ((\frac{1}{2})^{2})}{E (0)} = \infty

$\frac{\sigma^{2}_{I(t)}}{\sigma^{2}_{Q(t)}} = \frac{\mathbb{E}\left((\frac{1}{2})^2\right)}{\mathbb{E}(0)} = \infty$

This is the goal of a coherent quadrature modulation receiver: signal that is placed in the in-phase (I) channel is carried into the receiver's I signal with no leakage into the quadrature (Q) signal.

Edit: I wanted to address your comments below. For a quadrature receiver, the carrier frequency would in most cases be at the center of the transmitted signal bandwidth, so instead of being bandlimited to the carrier frequency $\omega\$ , a typical communications signal would be bandpass over the interval $[\omega - \frac{B}{2}, \omega + \frac{B}{2}]$ , where $B$ is its modulated bandwidth. A quadrature receiver aims to downconvert the signal to baseband as an initial step; this can be done by treating the I and Q channels as the real and imaginary components of a complex-valued signal for subsequent analysis steps.

With regard to your comment on the second-order statistics of the cyclostationary $x(t)$ , you have an error. The cyclostationary nature of the signal is captured in its autocorrelation function. Let the function be $R(t, \tau)$ :

R (t, τ) = E (x (t) x (t - τ))

$R(t, \tau) = \mathbb{E}(x(t)x(t - \tau))$

R (t, τ) = E (n (t) n (t - τ) \sin (2 ω t) \sin (2 ω (t - τ)))

$R(t, \tau) = \mathbb{E}(n(t)n(t - \tau) \sin(2 \omega t) \sin(2 \omega(t - \tau)))$

R (t, τ) = E (n (t) n (t - τ)) \sin (2 ω t) \sin (2 ω (t - τ))

$R(t, \tau) = \mathbb{E}(n(t)n(t - \tau)) \sin(2 \omega t) \sin(2 \omega(t - \tau))$

Because of the whiteness of the original noise process $n(t)$ , the expectation (and therefore the entire right-hand side of the equation) is zero for all nonzero values of $\tau$ .

R (t, τ) = σ^{2} δ (τ) \sin^{2} (2 ω t)

$R(t, \tau) = \sigma^2 \delta(\tau) \sin^2(2 \omega t)$

The autocorrelation is no longer just a simple impulse at zero lag; instead, it is time-variant and periodic because of the sinusoidal scaling factor. This causes the phenomenon that you originally observed, in that there are periods of "high variance" in $x(t)$ and other periods where the variance is lower. The "high variance" periods are selected by demodulating by a sinusoid that is coherent with the one used to modulate it, which stands to reason.

— Jason R
источник

Re: "This is the goal of a coherent quadrature modulation receiver..." -- this is true only if the original signal is band-limited to frequencies less than the carrier frequency, right?

— nibot

Re: "Noise is typically described via its power spectral density, or equivalently its autocorrelation function". This cyclostationary noise (

n (t) \cdot \sin ω t

$n(t)\cdot\sin\omega t$ ) is spectrally white and has a

δ (t)

$\delta(t)$ autocorrelation function, just like regular (stationary) Gaussian noise. I am looking for a description that encapsulates its cyclostationary nature.

— nibot

I edited the answer to talk about your two comments.

— Jason R

@Jason, good post. I am trying to understand however, the part where you talk about the cyclostationarity process. I am having a hard time understanding why 't' here is a function of R... - after the expectation operator, there is no 't' (time) variable anymore... only a function of tau.

— Spacey

@Jason nevermind, I just realized 't' must be there since the statistics change with time, (albeit cyclically), and so therefore the autocorr function will also be a function of time and delay... but what I do not understand in this case is how you got the delta*sin^2 ... does this warrant an actual question for me to post?

— Spacey