Как полюсы связаны с частотной характеристикой

Недавно я впал в заблуждение , рассматривая полюс s = 1, поскольку на частоте 1 есть бесконечный отклик. Тем не менее, отклик был только 1. Теперь, вы можете получить частотный отклик, учитывая полюса?

Во-вторых, теория говорит, что система устойчива, когда полюса находятся в левой s-плоскости и, таким образом, затухают во времени. Но ждать. Разве «полюс» означает бесконечный отклик - рост во времени?

Наконец, это правильный вопрос в DSP? IMO, D обозначает цифровой, тогда как s-домен является аналоговым. Я не нахожу теги s-плоскости или преобразования Лапласа для маркировки моего поста.

Обновление Спасибо за ответы. Кажется, что у меня есть это, кроме одной незначительной, но фундаментальной вещи - отношения полюсов (и нулей) с частотой. По сути, почему собственные значения (или, как вы называете оператор / переменную $s$ ) связаны с частотой? Это должно быть как-то связано с экспоненциальным ростом и преобразованием Лапласа. Я вполне понимаю, что полюса оказываются собственными значениями (особенно для дискретных повторений). Но как это связано с частотой?

Я думаю, что на самом деле есть 3 вопроса в вашем вопросе:

Q1: Могу ли я получить частотную характеристику с учетом полюсов (линейной инвариантной по времени) системы?

Да, вы можете, до постоянной. Если $s_{\infty,i}$ , $i=1,\ldots,N,$ являются полюсами передаточной функции, вы можете записать передаточную функцию как

$$H(s)=\frac{k}{(s-s_{\infty,1})(s-s_{\infty,2})\ldots (s-s_{\infty,N})}\tag{1}$$

Отметим, что $s$ является комплексной переменной $s=\sigma+j\omega$ , а частотная переменная $\omega$ соответствует мнимой оси комплексной $s$ плоскости. Теперь нам нужно получить частотную характеристику от передаточной функции. Для стабильных систем это можно сделать просто путем оценки передаточной функции $H(s)$ для $s=j\omega$ . Итак, вы заменяете $s$ на $j\omega$ в (1) и все готово. Заметим, однако, что это верно только для стабильных систем (т.е. если область сходимости $H(s)$ включает ось $j\omega$ ).

Q2: Как стабильная система может иметь полюса?

Как вы уже знаете, для причинных и устойчивых систем все полюса должны лежать в левой полуплоскости комплексной $s$ плоскости. В самом деле, значение передаточной функции $H(s)$ уйдет в бесконечность при полюсе $s=s_{\infty}$ , но частотная характеристика будет в порядке, потому что, если все полюса находятся в левой полуплоскости, на $j\omega$ Оу (или справа от него). Если вы посмотрите на него во временной области, то каждый (простой) полюс имеет вклад $e^{s_{\infty}t}$ в импульсную характеристику системы. Если полюс находится в левой полуплоскости, это означает, что $s_{\infty}=\sigma_{\infty}+j\omega_{\infty}$ has a negative real part $\sigma_{\infty}<0$. So

$$e^{s_{\infty}t}=e^{\sigma_{\infty}}e^{j\omega_{\infty}}$$

is an exponentially damped function and does not grow but decays, because $\sigma_{\infty}<0$.

Q3: Does this question belong here?

Other community members have to judge whether this question belongs here. I think that it does. It is obviously not directly related to pure DSP, but DSP engineers very often also have to deal with analog signals and systems before AD conversion, so they also know about continuous system theory. Second, almost all DSP people (at least the ones with traditional training) got quite some exposure to general signals and systems theory, including continuous-time and discrete-time systems.

By the way, for discrete-time systems you get the $\mathcal{Z}$-transform instead of the Laplace-transform, and your complex variable is now called $z$ instead of $s$. The variable $D$ that you've mentioned is defined as $D=z^{-1}$ and is mainly used in the coding literature. By its definition, it denotes a delay element, so $D$ stands for "delay" (not "digital").

If you know that the left half-plane of the complex $s$-plane maps to the region inside the unit circle of the complex $z$-plane (i.e. $|z|<1$), and the $j\omega$-axis maps to the unit circle $|z|=1$, then almost everything you know about one of the two domains will easily carry over to the other domain.

One thing that really helped me understand poles and zeros is to visualize them as amplitude surfaces. Several of these plots can be found in A Filter Primer. Some notes:

• It's probably easier to learn the analog S plane first, and after you understand it, then learn how the digital Z plane works.
• A zero is a point at which the gain of the transfer function is zero.
• A pole is a point at which the gain of the transfer function is infinite.
• Often there are zeros or poles at infinity, which aren't always included in descriptions of the transfer function, but are necessary to understand it.
• The frequency response in the S plane happens along the jω axis only.
  • The origin is 0 Hz, or DC, and the cutoff frequency of filters increases radially away from the origin. Putting a pole at any point along a circle at a certain distance from the origin will produce the same cutoff frequency.
  • To increase the cutoff frequency of a filter, move the poles radially outward.
  • To increase the Q of a biquad filter, move the poles along the circle towards the jω axis, which keeps the cutoff frequency constant, but increases the effect that the pole has on the frequency response, making it more "peaky".
  • 
• If a zero appears on the jω axis, then the frequency response will drop to zero at that frequency; if you input a sine wave at that frequency, the output will be 0.
• Если полюс появляется на оси jω, то импульсный отклик является осциллятором; любой импульс заставит его звонить вечно на этой частоте. Импульсы имеют конечную энергию, но отклик фильтра имеет бесконечную энергию, поэтому он имеет бесконечное усиление.

Простым примером является интегратор H (s) = 1 / s:

• Эта функция равна 0, когда s бесконечно, поэтому она имеет ноль на бесконечности.
• Эта функция равна бесконечности, когда s равен нулю, поэтому она имеет полюс в нуле.

Другими словами, он имеет бесконечный коэффициент усиления при постоянном токе (шаговая характеристика интегратора постоянно увеличивается), а коэффициент усиления уменьшается с увеличением частоты:

Перемещение полюса от начала координат вдоль мнимой оси в левую сторону плоскости S делает усиление при 0 Гц по оси jw снова конечным, и теперь у вас есть фильтр нижних частот:

I won't tell the full mapping from poles(1)/zeroes(0) to the frequency response but I think I can explain the connection between frequency and zero/infinite response, why do you have infinite/zero response at $e^{-jw}=z_\text{zero/pole},$ i.e. what $e^{-jw}$ has to do with $z$.

The general form of the linear system is

$$y_n+a_1y_{n-1}+a_2y_{n-2}+\cdots = b_0 x_n + b_1x_{n-1}+b_2x_{n-2}+\cdots,$$ which can be solved in z-from as $$Y(z) = {(b_0 + b_1 z + b_2 z^2+\cdots)\over(1+a_1z+a_2z^2+\cdots)}X(z) = H(z)X(z) = {(1-z_0z)(1-z_1z)\cdots \over(1-p_0z)(1-p_1z)\cdots}X(z).$$

In the end, the series of binomial products $(1-z_0 z)\cdots{1\over 1-p_0 z}$ can be considered as a series of systems, where first output, is the input for another.

I would like to analyze the effect of single pole and zero. Let's single out the first zero, considering it the transfer function so that the rest of $H(z)X(z)$ is the input signal, $Y(z)=(1-z_0z)Χ(z),$ which corresponds to some $y_n = b_0x_n + b_1x_{n-1}.$ Let's take $b_0=b_1=1$ for simplicity. I mean that $y_n = x_n + x_{n-1}$.

What we want to determine the effect of the system H(z) upon harmonic signal. That is, the input is going to be test signal

$$x_n = e^{jwn}\overset{z}{\leftrightarrow} 1 + e^{jw}z + e^{2jw} z^2 + \cdots = 1/(1-e^{jw})= X(z).$$ The response is going to be $$y_n = x_n + x_{n-1}|_{x_n = e^{jwn}} = e^{jwn} + e^{jw(n-1)} = e^{jwn}(1+e^{-jw})$$ that is, $1+e^{-jw}$ is the transfer function or $Y(z) = {(1+z)\over (1-e^{jw}z)} =(1+z)X(z)$.

Please note that $1+z$ basically says that output is sum of input signal plus shifted signal, since single $z$ stands for single clock delay in time domain.

Now, as explained in, $H(jw) = 1 + e^{-jw} = e^{-jw/2}(e^{jw/2}+e^{-jw/2}) =e^{-jw/2}2\cos(w/2)$. Cosine makes it to behave like low-pass filter

$$\begin{cases} w=0 & \Rightarrow &H(j0) = 1\cdot 2 \cos (0) = 2\\ w=\pi & \Rightarrow & H(j\pi) = e^{j\pi/2}2\cos(\pi/2) = 0 \end{cases}$$

It is also a good lesson that you get $2 cos \alpha = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha}$ because you will supply the real signals rather than complex imaginary ones in real life.

LTI with impulse response = {1,-1} is $y_n=x_n -x_n|_{x_n=e^{jwn}} =e^{jwn}(1-e^{-jw})$ has transfer function of $H(jw) = (1-e^{-jw}) = e^{-jw/2}(e^{jw/2}-e^{-jw/2})=e^{-jw}2\sin(w/2)$, which has zero at $w=0$ since $sin(0)=0$ but it can be found from the frequency response

$$H(jw)=1-e^{-jw} = 0 \Rightarrow e^{-jw} = 1 = e^0 \Rightarrow w = 0.$$

After the textbooks, I can spot the surprising coincidence between transfer function $H(z) = 1\pm z$ and frequency response $H(jw)=1\pm e^{-jw}$. That is, z somehow corresponds to $e^{-jw}$, which is important for zero/pole analysis. I read it like

sine z-factor stands for a clock shift and $y_n = x_n \pm x_{n-1}=0$ means that next sample is $\pm$ previous one to get zero response, we need to have $1\pm z=0$ in front of X(z). But, the frequency domain basis functions $e^{jwn}$ evolve by multiplying current value $e^{jw(n-1)}$ with $e^{jw}$ every clock. Therefore, we have $e^{jwn}(1 \pm e^{-jw}) =0$ as condition for constant zero output. The latter $1\pm e^{-jw}$ matches perfectly with zero transfer function $1\pm z=0$.

In general, single-zero LTI is given by $y_n = b_0 x_n + b_1 x_{n-1}$ or

$$Y(z) = (b_0 + b_1 z)X(z) = (b_0+ b_1z)(1+x_1z+x_2z^2+\cdots) = b_0 + (b_0 x_1 + b_1 x_0)z + (b_0 x_2 + b_1 x_1)z^2 + \cdots.$$ When $b_0+b_1 z = 0$, i.e. when $z=-b_0/b_1,$ whereas frequency response is, $$y_n(x_n = e^{jwn}) = b_0 e^{jwn} + b_1 e^{jw(n-1)} = e^{jwn}(b_0+b_1 e^{-jw})= e^{jwn}b_0(1-z_0 e^{-jw}),$$

which goes to zero when $1-z_0 e^{-jw} = 0$ or $e^{-jw} = 1/z_0$, which matches the computation for $z$ if $z=e^{-jw}$. The only thing that bothers me is that fixed-amplitude complex exponential is not enough for the frequency (harmonic) basis. You cannot obtain arbitrary ratio $1/z_0= e^{-jw}$ by choosing appropriate frequency $w$, a decaying harmonic signal is needed for that. That is weird because I have heard that any signal can be represented as sum of (constant amplitude) sines and cosines. But, anyway, we see that system zero stands for relationship between adjacent samples of input signal. When they are right, the output is identically 0 and we can choose such such frequency $w$ so that zero $z = 1/z_0 = e^{-jw}.$

Now, what about the poles? Let's single out a single pole $a$. The system has a from of $y_n = a y_{n-1} + (x_n + x_{n-1} + \cdots)$, under assumption $y_0 = 0$, has z-transform of $Y(z) = X(z)/(1-az)$.

The feedback $a$ is equivalent to infinite impulse response ${1,a,a^2,\ldots} \overset{z}{\leftrightarrow} 1 + az + a^2z^2 + \cdots = 1/(1-az)$. It says that response is infinite when $z=1/a$. What does it mean if we apply the test signal

$$x_n=e^{jwn}\overset{z}{\leftrightarrow} X(z) = 1+e^{jw}z+e^{2jw}z^2+\cdots = 1/(1-e^{jw}z)$$ to our system? We'll get $Y(z)={1\over 1-az}{1\over 1-e^{jw}z},$ or $$y_n = e^{jwn} + ae^{jw(n-1)} +a^2e^{jw(n-2)} +\cdots = e^{jwn}(1+ae^{-jw} + a^2e^{-2jw} + \cdots) ={e^{jwn}\over 1-ae^{-jw}}.$$ That is, frequency response is $1/(1-ae^{-jw}),$ which goes to infinity when $e^{-jw}=1/a,$ the same as $z_{pole}$ above, $e^{-jw}=z_{pole}=1/a$. But again, you can not always arrive at the pole $1/a$ adjusting the frequency $w$ alone. The frequency basis functions must be decaying amplitude in general and look like $(ke^{jw})^n$.

That is, zeroes or poles of the transfer function $H(z)$ happen to match the zeroes and poles of frequency response $H(jw)$, which is really amazing. I noticed that this is related to the relation between adjacent samples, $e^{jwn}/e^{jw(n-1)} = e^{jw} = 1/z_{zero}$ in case of zeroes. The fact that $e^{jwn}$ scales exponentially over time, along with the system with feedback $a$, also seems to be the key for matching between $e^{jw}$ and $z_{poles}$. It also seems important that you cannot simply look for the appropriate frequency of $e^{jwn}$, the basis function must also have adjustable amplitude factor $k^n$.

I would be happy if anybody could explain the same more condensely or more crisply.