КИХ-фильтр с линейной фазой, 4 типа

Я знаю, что существует 4 типа FIR-фильтров с линейной фазой, то есть постоянная групповая задержка: (M = длина импульсной характеристики)

1. Импульсный отклик симметричный, М = нечетный

2. Настоятельный соответственно симметричный, M = четный

3. Настоятельный соответственно антисимметричный, M = нечетный

4. Настоятельный соответственно антисимметричный, M = четный

каждый со своими чертами. Какой из этих типов чаще всего используется в КИХ-фильтре с линейной фазовой схемой и почему? :)

При выборе одного из этих 4 типов линейных фазовых фильтров необходимо учитывать в основном 3 момента:

1. ограничения на нули при z = 1 и z = - $H(z)$$z=1$$z=-1$

2. целочисленная / нецелая групповая задержка

3. сдвиг фазы (кроме линейной фазы)

Для фильтров типа I (нечетное число отводов, четная симметрия) нет ограничений на нули при и z = - 1 , фазовый сдвиг равен нулю (кроме линейной фазы), а групповая задержка является целым числом значение.$z=1$$z=-1$

Фильтры типа II (четное количество отводов, четная симметрия) всегда имеют ноль при $z=-1$ (т.е. половине частоты дискретизации), имеют нулевой сдвиг фазы и имеют нецелую групповую задержку.

Фильтры типа III (нечетное число отводов, нечетная симметрия) всегда имеют нули при и z = - 1 (т.е. при f = 0 и f = f s / 2 ), имеют фазовый сдвиг на 90 градусов и целое число групповая задержка.$z=1$$z=-1$$f=0$$f=f_s/2$

Фильтры типа IV (четное количество отводов, нечетная симметрия) всегда имеют ноль при $z=1$ , фазовый сдвиг 90 градусов и нецелую групповую задержку.

Это подразумевает (среди прочего) следующее:

• Фильтры типа I довольно универсальны, но их нельзя использовать всякий раз, когда необходим сдвиг фазы на 90 градусов, например, для дифференциаторов или гильбертовых трансформаторов.

• Фильтры типа II обычно не используются для фильтров верхних частот или полосовых фильтров из-за нуля при , то есть при f = f s / 2 . Они также не могут быть использованы для приложений, где необходим сдвиг фазы на 90 градусов.$z=-1$$f=f_s/2$

• Фильтры типа III нельзя использовать для стандартных частотно-избирательных фильтров, поскольку в этих случаях сдвиг фазы на 90 градусов обычно нежелателен. Для трансформаторов Гильберта фильтры типа III имеют относительно плохое приближение по амплитуде на очень низких и очень высоких частотах из-за нулей при и z = - 1 . С другой стороны, трансформатор Гильберта типа III может быть реализован более эффективно, чем трансформатор Гильберта типа IV, потому что в этом случае каждый второй отвод равен нулю.$z=1$$z=-1$

• Фильтры типа IV не могут использоваться для стандартных частотно-избирательных фильтров по тем же причинам, что и фильтры типа III. Они хорошо подходят для дифференциаторов и гильбертовых преобразователей, и их аппроксимация по величине обычно лучше, потому что, в отличие от фильтров типа III, они не имеют нуля при .$z=-1$

• В некоторых приложениях желательна целочисленная групповая задержка. В этих случаях предпочтительны фильтры типа I или типа III.

Все фильтры с антисимметричной импульсной характеристикой имеют ноль при $z=1$ (то есть частоте 0). Поэтому, если вам нужно реализовать фильтр верхних частот или фильтр, подобный производным (или даже полосовой пропуск), то вы должны перейти к типам 3 и 4.

Точно так же, если ваш фильтр низкочастотный, то применяются типы 1 и 2.

Таким образом, это зависит от типа фильтра, который вам нужно спроектировать, а не от того, какой из них более распространен.

$e^{j\theta/2}$$\theta = \pi$ , поэтому гораздо более быстрая сходимость и необходимость в меньших коэффициентах).

С точки зрения реализации, все 4 типа могут быть эффективно реализованы без повторения одних и тех же коэффициентов дважды.

Вам нужна, конечно, вся линия задержки М-размера. Но вместо того, чтобы умножать каждый из выходов крана на его собственный коэффициент, вы сначала добавляете (или вычитаете) два соответствующих выхода, а затем умножаете только один раз на коэффициент.

$h[n] = a \delta[n] + b \delta[n-1] + a \delta[n-2]$$y[n] = a x[n] + b x[n-1] + a x[n-2]$$y[n] = a (x[n] + x[n-2]) + b x[n-1]$.

Since there already are two very nice answers, I will give some very basic examples from which the properties given in the other answers can be sanity checked against. Zero locations and phase responses are directly available.

symmetrical, M=odd

$H(z) = 1\pm2z^{-1}+z^{-2} = (1\pm z^{-1})^2 \\ H(e^{j\omega}) = (1\pm e^{-j\omega})^2 = (e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2}\pm e^{-j\omega/2}))^2 = e^{-j\omega}(e^{j\omega/2}\pm e^{-j\omega/2})^2 = 4e^{-j\omega}\cos^2(\omega/2) \quad or \quad -4e^{-j\omega}\sin^2(\omega/2) = 4e^{-j(\omega-\pi)}\sin^2(\omega/2)$

$H(z) = 1+z^{-2} = (1 + jz^{-1})(1 - jz^{-1}) \\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j2\omega}) = e^{-j\omega}(e^{j\omega} + e^{-j\omega}) = 2e^{-j\omega}\cos(\omega)$

symmetrical, M=even

$H(z) = 1 + z^{-1}\\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j\omega}) = e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2} + e^{-j\omega/2}) = 2e^{-j\omega/2}\cos(\omega/2)$

$H(z) = 1 + z^{-3} \\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j3\omega}) = e^{-j3\omega/2}(e^{j3\omega/2} + e^{-j3\omega/2}) = 2e^{-j3\omega/2}\cos(3\omega/2)$

$H(z) = 1 + 3z^{-1} + 3z^{-2} + z^{-3} = (1 + z^{-1})^3 = (1-e^{-2\pi/3}z^{-1})(1-e^{2\pi/3}z^{-1})(1+z^{-1})\\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j\omega})^3 = (e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2} + e^{-j\omega/2}))^3 = 8e^{-j3\omega/2}\cos(\omega/2)^3$

antisymmetrical, M=odd (according to [1], $h[N/2] = 0$ for this case)

$H(z) = 1 - z^{-2} = (1 + z^{-1})(1 - z^{-1}) \\ H(e^{j\omega}) = 1 - e^{-j2\omega} = e^{-j\omega}(e^{j\omega} - e^{-j\omega}) = 2je^{-j\omega}\sin(\omega)=2e^{-j(\omega-\pi/2)}\sin(\omega)$

antisymmetrical, M=even

$H(z) = 1 - z^{-1} \\ H(e^{j\omega}) = (1 - e^{-j\omega}) = e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2} - e^{-j\omega/2}) = 2je^{-j\omega/2}\sin(\omega/2)$

[1] a good reference mitrappt