Условия предварительного кодирования матрицы для сохранения комплексной сопряженной симметрии на векторе DFT

10

Предположим, что существует вектор DFT с длиной N, который представляет комплексную сопряженную симметрию вокруг своей средней точки, т. Е. , и пр. и являются частотой постоянного тока и частотой Найквиста соответственно, поэтому являются действительными числами. Остальные элементы сложны. $\mathbf{X}$ $X(1) = X(N-1)^*$ $X(2) = X(N - 2)^*$ $X(0)$ $X(N/2)$

Теперь предположим, что существует матрица размером , которая умножает вектор X. $\mathbf{T}$ $N \times N$

\begin{aligned} Y = T X \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{Y} = \mathbf{T}\mathbf{X} \end{align}$

Вопрос в том:

В каких условиях для матрицы сохраняется комплексная сопряженная симметрия вокруг средней точки результирующего вектора ? $\mathbf{T}$ $\mathbf{Y}$

Мотивация для этого вопроса состоит в том, чтобы попытаться придумать матрицу предварительного кодирования $\mathbf{T}$ которая приводит к предварительно кодированному (предварительно выровненному) символу $\mathbf{Y}$ чье IFFT является действительным.

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Спасибо @MattL. и @niaren. Трудность в этом вопросе состоит в том, чтобы найти необходимые условия. Ответ Мэтта действительно достаточно. Также достаточно внести следующие изменения:

Первая строка и первый столбец не должны быть нулевыми. Вместо этого они могут быть ненулевыми, если его значения представляют комплексную сопряженную симметрию вокруг средней точки, его первое значение является действительным, а его -ое значение является действительным, точно так же, как символ. То же самое можно сказать для -го столбца, -го ряда и главной диагонали. $(N/2+1)$ $(N/2+1)$ $(N/2+1)$

Во-вторых, такое же соответствие между матрицей в верхнем левом углу и нижнем правом углу может быть сделано между верхним правым углом и нижним левым углом, то есть выбрано матрица, начиная с до , переворачивается слева направо, переворачивается вверх дном и берет конъюгат, затем помещается в нижний левый угол. На MATLAB это будет: $(N/2 -1)\times(N/2-1)$ $t_{2,N/2 + 2}$ $t_{N/2,N}$

T(N/2+2:N,2:N/2) = conj(fliplr(flipud(Tisi(2:(N/2),N/2+2:N))))

Эта структура похожа на структуру матрицы DFT. Это было бы необходимым условием?

EDIT (2):

Следующий код реализует такой допустимый оператор для любой вещественной матрицы : $N \times N$ $\mathbf{A}$

N = 8;  
A = rand(N,N); %must be real-valued  
w = exp(-1j*2*pi/N); % twiddle factor  
W = w.^(repmat(0:N-1,N,1).*repmat(0:N-1,N,1).'); % DFT matrix  
T = W*A*W'

EDIT (3):

Также интересно отметить, что представляет достаточное условие. Это связано с тем, что: $\mathbf{T}^{-1}$

\begin{aligned} T^{- 1} & = {(W A W^{H})}^{- 1} \\ = {(W^{H})}^{- 1} A^{- 1} W^{- 1} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{T}^{-1} &= \mathbf{\left(W A W^{H}\right)}^{-1}\\ &= \mathbf{\left(W^{H}\right)}^{-1} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{W}^{-1} \end{align}$ где - матрица DFT.

W

$\mathbf{W}$

Так как . Это уравнение становится: $\mathbf{W^{H}} = N\mathbf{W}^{-1}$

\begin{aligned} T^{- 1} & = {(N W^{- 1})}^{- 1} A^{- 1} \frac{1}{N} W^{H} \\ = W A^{- 1} W^{H} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{T}^{-1} &= \left(N\mathbf{W}^{-1}\right)^{-1} \mathbf{A}^{-1} \frac{1}{N}\mathbf{W^{H}}\\ &= \mathbf{W} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{W^{H}} \end{align}$

Наконец, поскольку является вещественным значением, при условии, что имеет полный ранг, достаточно . $\mathbf{A}^{-1}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{T}^{-1}$

dft equalization linear-algebra

— igorauad
источник

Я остановлюсь на этом, прежде чем углубиться в подробности, но только для вас, чтобы рассмотреть: хотя ограничение диагональной матрицы не является необходимым, это можно сделать без потери общности, потому что все возможное векторы могут быть сгенерированы. Ты согласен?

T

$\mathbf{T}$

Y

$\mathbf{Y}$

— Мэтт Л.

Конечно, я согласен с этим.

— igorauad

1

Я думаю, что записи в вашей матрице должны подчиняться . Это говорит о том, что записи в строке такие же, как коэффициенты в строке n, но где коэффициенты сопряжены и обращены. Шаблон в , для является $\bf{T}$ $a_{N-n+1,N-m+1} = a^*_{n,m}$ $N-n+1$ $\bf{T}$ $N=4$

$T_4 = \left[ \begin{smallmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\ a^*_{24}&a^*_{23}&a^*_{22}&a^*_{21} \\ a^*_{14}&a^*_{13}&a^*_{12}&a^*_{11}\end{smallmatrix} \right]$

Я уверен, что кто-то придумает лучший и более точный ответ.

— niaren
источник

Как насчет компонента DC? Компонент DC в является внутренним произведением первой строки с (комплексным) вектором . Как это будет по-настоящему ценно?

Y

$\mathbf{Y}$

T

$\mathbf{T}$

X

$\mathbf{X}$

— Мэтт Л.

1

Я оставил это в качестве упражнения для ОП, чтобы набить эти два ряда кашлем . Но я не понимаю, как вы пришли к выводу, что будет работать только диагональная матрица (не говоря о том, что вы не правы).

— Ниарен

Я действительно могу ошибаться. Когда у меня будет больше времени, я снова подумаю об этом ... Скажем так: диагональная матрица (с сопряженной симметрией) будет работать в любом случае.

— Мэтт Л.

-1

Если я не ошибаюсь, единственное решение для которое не зависит от вектора - это диагональная (комплексная) матрица, где диагональ удовлетворяет комплексной сопряженной симметрии. $\mathbf{T}$ $\mathbf{X}$

РЕДАКТИРОВАТЬ: ОК, я ошибся. Диагональ это хорошо, но это не обязательно. Матрица должна иметь следующую общую структуру: элементы и должны быть действительными (они соответствуют DC и Найквисту). Помимо первая строка и столбец содержат только нули. Для элементов от до выбрал произвольный $\mathbf{T}$ $t_{11}$ $t_{N/2+1,N/2+1}$ $t_{11}$ $t_{22}$ $t_{N/2,N/2}$ $(N/2-1)\times (N/2-1)$ матрица. Затем используйте эту произвольную матрицу для формирования новой матрицы, меняя местами все строки (первая строка становится последней, вторая строка становится второй последней и т. Д.), Переворачивая строки слева направо и путем сопряжения. Затем поместите эту подматрицу в нижний правый угол общей матрицы . Все остальные элементы должны быть равны нулю. Я знаю, что это сложно понять без визуализации, поэтому я добавлю его позже, когда у меня будет больше времени. $\mathbf{T}$ $\mathbf{T}$

— Мэтт Л.
источник