Почему добавление версии сигнала с задержкой по времени само по себе создает отфильтрованный сигнал?

9

Мне задали этот вопрос, и я не смог придумать ответ на месте, который не затрагивал частотную область (в основном, что коэффициенты последовательности задержки являются импульсной характеристикой КИХ-фильтра).

Есть ли у кого-нибудь понимание, которое делает этот процесс «очевидным»?

filters

— Том Кили
источник

9

Когда вы задерживаете сигнал на секунд и добавляете его к самому сигналу, вы отменяете или обнуляете компонент сигнала на частоте Гц, поскольку этот компонент сигнала будет менять фазу точно на : $T$ $\frac{1}{2T}$ $\pi$

\begin{aligned} \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) + \sin (2 π \frac{1}{2 T} (t - T) + θ) & = \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) + \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ - π) \\ = \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) + \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) \cos (π) \\ - \cos (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) \sin (π) \\ = \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) - \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) - 0 \\ = 0. \end{aligned}

$\begin{align} \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) + \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}(t-T) + \theta\right) &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) + \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta - \pi\right)\\ &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) +\sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)\cos(\pi)\\ &\ \hspace{0.2in}-\cos\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)\sin(\pi)\\ &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) -\sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)-0\\ &= 0. \end{align}$ Аналогичная вещь происходит и при нечетных кратных

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$ Гц. Для соседних частот подавление не такое полное, и, конечно, при четных кратных

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$ Гц компонент сигнала удваивается вместо того, чтобы быть отмененным. Аналогично, если задержанный сигнал уменьшается по амплитуде, подавление не завершается при

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$ Гц и т. Д.

Чтобы подвести итог, то сигнал будет фильтруется , потому что разные частоты пропускают через с разными коэффициентами усиления.

Если вам нужно объяснение в частотной области, передаточная функция системы является преобразованием Фурье того, что ответ Мэтта дал в качестве импульсного отклика, а именно. которая является непостоянной функцией (фактически варьируется синусоидально от максимума до минимума как обсуждалось выше), и поэтому не является скалярным кратным . Фильтрация! $H(f)$

F [δ (T) + δ (T - T)] знак равно 1 + ехр (- J 2 π е T)

$\mathcal F\left[\delta(t) + \delta(t-T)\right] = 1+\exp(-j2\pi fT)$

f

$f$

| H (f) |

$|H(f)|$

2

$2$

0

$0$

Y (f) = H (f) X (f)

$Y(f)=H(f)X(f)$

X (f)

$X(f)$

— Дилип Сарватэ
источник

Извините за задержку - как бы я пошел отсюда (что фильтрация - это помеха) к необходимости того, что фильтрация - это свертка двух сигналов? Я могу видеть это (алгебраически) по формуле суммы двух косинусов, но не могу понять причину этого.

— Том Кили,

Пожалуйста, объясните, что вы имеете в виду под "фильтрацией - вмешательством". Я вообще не понимаю этого понятия

— Дилип Сарват,

Ну, мы только что установили (или мы?), Что добавление двух сигналов вместе с разными фазами эквивалентно фильтрации с задержкой по времени, потому что волны мешают. Как бы я пошел (во временной области) оттуда к свертке?

— Том Кили

Я до сих пор не понимаю вопроса. - это выходной сигнал фильтра с импульсной характеристикой , вход которого равен , так как было указано в ответе Мэтта. Если вы хотите записать вывод как свертку, вы можете написать где, когда вы оцениваете интегралы, используя свойство просеивания импульсов, вы получаете который вы уже знали.

x (t) + x (t - T) = y (t)

$x(t)+x(t-T) = y(t)$

h (t) = δ (t) + δ (t - T)

$h(t) = \delta(t)+\delta(t-T)$

x (t)

$x(t)$

Y (T) знак равно Икс ⋆ час знак равно \int_{- \infty}^{\infty} Икс (T - U) час (U) d U знак равно \int_{- \infty}^{\infty} Икс (T - U) [δ (U) + δ (U - T)] d U

$y(t) = x\star h = \int_{-\infty}^\infty x(t-u)h(u)\,du = \int_{-\infty}^\infty x(t-u)[\delta(u)+\delta(u-T)]\,du$

x (t) + x (t - T)

$x(t)+x(t-T)$

— Dilip Sarwate

6

Если вы определяете (линейную постоянную по времени) фильтрацию как свертку, то ответ очевиден: сумма сигнала и его задержанная версия могут быть записаны как свертка с импульсным откликом : где - задержка между двумя версиями сигнала. $h(t)$

час (T) знак равно δ (T) + δ (T - T)

$h(t) = \delta(t) + \delta(t-T)$

T

$T$

— Мэтт Л.
источник

4

Если задержка добавленной версии сигнала с задержкой составляет ровно один цикл любого периодического содержимого, то выходной сигнал будет дополнительно увеличен. Если задержка составляет ровно половину периода какого-либо синусоидального компонента, то этот компонент будет деструктивно создавать помехи и, следовательно, обнуляться из выходных данных. Если задержка равна нулю, то сигнал будет удвоен. Для комбинаций частоты / фазы, которые находятся между полной деструктивной помехой или полным сложением, аддитивный результат также будет промежуточным.

Увеличение и уменьшение выходного сигнала в зависимости от частотного содержимого входного сигнала является типичной фильтрацией.

— hotpaw2
источник