Дисперсия белого гауссовского шума

Это может показаться простым вопросом, и, без сомнения, это так, но я пытаюсь вычислить дисперсию белого гауссовского шума без какого-либо результата.

Спектральная плотность мощности (PSD) аддитивного белого гауссовского шума (AWGN) равна при автокорреляции $\frac{N_0}{2}$ , то есть дисперсия бесконечна? $\frac{N_0}{2}\delta(\tau)$

noise power-spectral-density random-process

— Mazzy
источник

Разве мощность шума не является дисперсией шумового напряжения? Можно также спросить о дисперсии (или стандартном отклонении) мощности, измеренной за определенный интервал времени. Я думаю, что центральная предельная теорема будет описывать взаимосвязь между продолжительностью времени измерения и дисперсией результатов.

Ответы:

Белый гауссовский шум в случае непрерывного времени - это не то, что называется процессом второго порядка (это означает, что конечен), и поэтому, да, дисперсия бесконечна. К счастью, мы никогда не можем наблюдать процесс белого шума (гауссовский или нет) в природе; это можно наблюдать только через какое-то устройство, например (BIBO-стабильный) линейный фильтр с передаточной функцией в этом случае вы получаете стационарный гауссовский процесс со спектральной плотностью мощности $E[X^2(t)]$ $H(f)$ и конечная дисперсия $\frac{N_0}{2}|H(f)|^2$

σ^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{N_{0}}{2} | H (f) |^{2} d f .

$\sigma^2 = \int_{-\infty}^\infty \frac{N_0}{2}|H(f)|^2\,\mathrm df.$

Больше того, что вы, вероятно, хотите знать о белом гауссовском шуме, можно найти в Приложении к этой записке моей лекции .

— Дилип Сарватэ
источник

Для меня любопытно, что параметр

который используется как «дисперсия» гауссова распределения

, не является дисперсией последовательности. Как вы говорите, это потому, что

бесконечно. Спасибо за четкое объяснение!

σ^{2}

$\sigma^2$

x (t)

$x(t)$

E [x^{2} (t)]

$E[x^2(t)]$

— Питер К.

@PeterK. Существует различие между понятиями белого гауссова шума для дискретного времени и непрерывного времени. Если процесс с дискретным временем рассматривается как выборки из процесса с непрерывным временем, то, принимая во внимание, что сэмплер является устройством с конечной полосой пропускания, мы получаем последовательность независимых гауссовских случайных величин с общей дисперсией

что у тебя в ответе. Если ваш

равен

σ^{2}

$\sigma^2$

Y [n]

$Y[n]$

где

- AWGN ОП, тогда

Y [n] = \int_{(n - 1) T}^{n T} X (t) d t

$Y[n]=\int_{(n-1)T}^{nT}X(t)\,\mathrm dt$

X (t)

$X(t)$

, не

σ_{Y [n]}^{2} = \frac{N_{0}}{2} T

$\sigma_{Y[n]}^2=\frac{N_0}{2}T$

как у вас есть (кроме случаев, когда

\frac{N_{0}}{2}

$\frac{N_0}{2}$

T = 1

$T=1$

— Дилип Сарватэ

@DilipSarwate Я прочитал ваше интересное приложение. Но вы говорите: «Однако не следует делать вывод, что случайные величины в процессе WGN сами являются гауссовыми случайными величинами». Я не до конца понял это. Если случайные переменные не являются гауссовыми (и это кажется мне разумным, поскольку они имеют бесконечную дисперсию), почему процесс называется гауссовским?

— Серфер на осень

@ Surferonthefall Попробуйте записать функцию плотности вероятности

предполагаемых гауссовских случайных величин в процессе белого гауссовского шума

. Функция плотности имеет значение

для всех

. Как можно рассматривать

как гауссовскую случайную величину? Как я неоднократно говорил в документе, который вы читаете, не следует слишком внимательно смотреть на случайные величины в процессе белого шума

f_{X (t)} (x)

$f_{X(t)}(x)$

{X (t) : - \infty < t < \infty}

$\{X(t)\colon -\infty < t < \infty\}$

0

$0$

x

$x$

X (t)

$X(t)$

. Процессмифическийи определяется тем, что он производит на выходе линейного фильтра, а не чем-то еще.

{X (t) : - \infty < t < \infty}

$\{X(t)\colon -\infty < t < \infty\}$

— Дилип

Извините, это должно было читаться как «.... принять предел при

», а не при

σ \to \infty

$\sigma \to \infty$

σ \to 0

$\sigma \to 0$

— Дилип

$x[t]$ $\sigma^2$ $x$

\begin{matrix} R_{x x} [τ] & = & E [x [t] x [t + τ]] \\ = & {\begin{matrix} E [x [t]^{2}], i f τ = 0 \\ 0, o t h e r w i s e \end{matrix} \\ = & σ^{2} δ [τ] \end{matrix}

$\begin{array} RR_{xx}[\tau] &=& E\left[ x[t] x[t+\tau] \right]\\ &=& \left \{ \begin{array} EE \left[ x[t]^2 \right], {\rm if\ }\tau=0 \\ 0, {\rm otherwise} \end{array} \right. \\ &=& \sigma^2 \delta[\tau] \end{array}$

δ [τ]

$\delta[\tau]$ - дельта Кронекера.

$\sigma^2 = \frac{N_0}{2}$

— Питер К.
источник

Да, это так: если вы не примете во внимание тот факт, что в эти времена после Большого взрыва трудно достичь бесконечной власти. Фактически все процессы белого шума заканчиваются в физической реализации, которая имеет емкость и, таким образом, ограничивает эффективную полосу пропускания. Рассмотрим (разумные) аргументы, приводящие к шуму Джонсона Р.: они будут производить бесконечную энергию; за исключением того, что всегда есть пределы пропускной способности в реализации. Аналогичная ситуация применяется на противоположном конце: 1 / F шум. Да, некоторые процессы очень хорошо соответствуют шуму 1 / f в течение длительного времени; Я измерил их. Но в конце концов вы ограничены физическими законами.

— rrogers
источник