Какова фазовая и амплитудная характеристика белого шума?

Я хотел бы создать белый шум в частотной области, а затем преобразовать его во временную область, используя python. Чтобы понять проблему, я просто сгенерировал белый шум во временной области и преобразовал его в частотную область:

import scipy.signal as sg
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

e = np.random.normal(0,1,1e3)
E = sg.fft(e)

plt.figure("Bode plot")
plt.subplot(211)
plt.title("Magitude")
plt.plot(abs(E))
plt.subplot(212)
plt.title("Phase")
plt.plot(np.angle(E))
plt.show()

Я не смотрю на все как я ожидал: Боде сюжет белого шума Вопросы:

Разве белый шум не должен иметь отклик плоской величины? (равные суммы для всех частот)
Какова связь между стандартным отклонением (1 в моем примере) и величиной и фазой?

Заранее спасибо!

fft noise python

— Uffe
источник

Разве белый шум не должен иметь отклик плоской величины? (равные суммы для всех частот)

Ожидать отклик величины белого шума является плоским (это то , что JasonR называет спектральную плотность мощности). Любой конкретный случай последовательности белого шума не будет иметь точно ровный отклик (это то, что в комментарии JasonR называется спектром мощности).

Фактически, преобразование Фурье белого шума - это ... белый шум!

Какова связь между стандартным отклонением (1 в моем примере) и величиной и фазой?

$n(t)$ $\sigma$

р_{N N} (τ) знак равно Е [N (T) N (T + τ)] знак равно σ^{2} δ (τ)

$R_{nn}(\tau) = E[n(t)n(t+\tau)] = \sigma^2\delta(\tau)$

$\sigma^2$

Вопросы из комментария:

Когда вы говорите, что преобразование Фурье также является белым шумом, как я могу измерить стандартное отклонение, если преобразование является сложным? Реальная, мнимая часть или какая-то комбинация?

$n[m]$ $\sigma^2$

\begin{array}{rcl} N [К] & знак равно & Σ_{м знак равно 0}^{M - 1} N [м] е^{- J 2 π м К / M} \\ знак равно & Σ_{м знак равно 0}^{M - 1} N [м] соз (2 π м К / M) + J N [м] грех (2 π м К / M) \end{array}

$\begin{eqnarray} N[k] &=& \sum_{m=0}^{M-1} n[m] e^{-j2\pi mk/M} \\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} n[m] \cos(2\pi mk/M) + j n[m] \sin(2\pi mk/M) \end{eqnarray}$

и ожидаемое значение:

\begin{array}{rcl} Е [N [К]] & знак равно & Е [Σ_{м знак равно 0}^{M - 1} N [м] е^{- J 2 π м К / M}] \\ знак равно & Σ_{м знак равно 0}^{M - 1} Е [N [м]] е^{- J 2 π м К / M} \\ знак равно & 0 \end{array}

$\begin{eqnarray} E\left[N[k]\right] &=& E\left[\sum_{m=0}^{M-1} n[m] e^{-j2\pi mk/M} \right]\\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} E\left[n[m]\right] e^{-j2\pi mk/M} \\ &=& 0 \end{eqnarray}$

Дисперсия действительной части определяется как:

\begin{array}{rcl} E [(ℜ N [К])^{2}] & знак равно & Е [Σ_{м знак равно 0}^{M - 1} N [м] соз (2 π м К / M) \cdot Σ_{п знак равно 0}^{M - 1} N [п] соз (2 π п К / M)] \\ знак равно & Е [Σ_{м знак равно 0}^{M - 1} Σ_{п знак равно 0}^{M - 1} N [м] N [п] δ [N - п] соз (2 π м К / M) соз (2 π п К / M)] \\ знак равно & Σ_{м знак равно 0}^{M - 1} Е [N [м]^{2}] {соз}^{2} (2 π м К / M) \\ знак равно & σ^{2} Σ_{м знак равно 0}^{M - 1} {соз}^{2} (2 π м К / M) \\ знак равно & σ^{2} (\frac{M}{2} + \frac{соз (M + 1) 2 π К / M грех (2 π M К / M)}{2 грех (2 π К / M)}) \\ знак равно & \frac{σ^{2} M}{2} \end{array}

$\begin{eqnarray} E\left[ (\Re N[k])^2 \right] &=& E \left [ \sum_{m=0}^{M-1} n[m] \cos(2\pi mk/M) \cdot \sum_{p=0}^{M-1} n[p] \cos(2\pi pk/M) \right ]\\ &=& E\left[ \sum_{m=0}^{M-1} \sum_{p=0}^{M-1} n[m]n[p] \delta[n-p] \cos(2\pi mk/M)\cos(2\pi pk/M) \right]\\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} E\left[ n[m]^2 \right]\cos^2(2\pi mk/M)\\ &=& \sigma^2\sum_{m=0}^{M-1} \cos^2(2\pi mk/M)\\ &=& \sigma^2 \left( \frac{M}{2} + \frac{\cos(M+1) 2\pi k/M \sin(2\pi Mk/M) }{ 2 \sin (2\pi k/M) } \ \ \ \right)\\ &=& \frac{\sigma^2 M}{2} \end{eqnarray}$

Я верю, что мнимая часть будет вести себя так же.

Не могли бы вы рассказать мне, как длительность сигнала связана со спектральной плотностью мощности (для дискретных временных ситуаций)

Я полагаю, что (на основе приведенного выше вывода) спектральная плотность мощности (ожидаемое значение квадрата ДПФ) будет линейно масштабироваться как длительность.

Если std-dev не влияет на фазу, то что определяет амплитуду в 3 градуса и тип распределения (кажется, что оно равномерное, а не нормальное)

Проверьте таблицу на странице 2 этого PDF-файла . это говорит о том, что аргумент (фаза) коэффициентов будет равномерно распределен, как вы заявляете. Скриншот таблицы приведен ниже.

введите описание изображения здесь

— Питер К.
источник

В частности, две концепции, которые вводит в заблуждение OP, - это спектральная плотность мощности белого шума и спектр мощности одной конкретной реализации случайного процесса белого шума.

— Джейсон Р

Благодарность! У меня есть несколько дополнительных вопросов. 1: Когда вы говорите, что преобразование Фурье также является белым шумом, как я могу измерить стандартное отклонение, если преобразование является сложным? Реальная, мнимая часть или какая-то комбинация? 2: Не могли бы вы рассказать мне, как длительность сигнала соотносится со спектральной плотностью мощности (для дискретных временных ситуаций) 3: Если std-dev не влияет на фазу, что определяет амплитуду в 3 градуса и тип распределение (кажется равномерным, а не нормальным)

— Uffe

Отлично! Это объясняет все особенности частотного отклика. Теперь мне ясно, что амплитуда фазы была не 3, а

π

$\pi$ и что стандартное отклонение действительной и мнимой частей просто зависит от количества элементов в векторе. Я также могу подтвердить экспериментально, что мнимая часть также имеет дисперсию

\frac{σ^{2} M}{2}

$\frac{\sigma^2 M}{2}$ ,

— Uffe

Это текущая ссылка на документ PDF , на которую есть ссылка выше ( radarsp.weebly.com/uploads/2/1/4/7/21471216/dft_of_noise.pdf ), которая не работает.

— Гость

@ Гость Спасибо! В дальнейшем просто попробуйте отредактировать ответ с новой ссылкой. Он не будет проходить напрямую, так как он должен быть рассмотрен пользователем с более высоким повторением, но он попадет туда (и вы получите +2 представителя в процессе).

— Питер К.