PSD (спектральная плотность мощности) объяснение

Я пытаюсь понять, как рассчитывается PSD. Я просмотрел несколько моих учебников по технике коммуникации, но безрезультатно. Я также посмотрел онлайн. Википедия, кажется, имеет лучшее объяснение; однако, я заблудился в той части, где они решили сделать CDF (накопительную функцию распределения), а затем по какой-то причине решили связать это с функцией автокорреляции.

Я думаю, что я не понимаю, как автокорреляция имеет какое-либо отношение к вычислению PSD? Я бы подумал, что PSD просто будет преобразованием Фурье от (где - мощность сигнала относительно времени). $P(t)$ $P(t)$

power-spectral-density psd

— user968243
источник

Как вы определяете

P (t)

$P(t)$

— Фонон

Я действительно не определяю это как что-либо. Это просто какой-то сигнал силы. Я думаю, если бы мне пришлось определить это, это было бы

... Я думаю, дело в том, что PSD не

и он имеет что-то делать с автокорреляцией, и я не понимаю, что ...

P (t) = v (t) \cdot i (t)

$P(t) = v(t) \cdot i(t)$

F {P (t)}

$\mathcal{F}\{P(t)\}$

— user968243

Вы не можете определить мощность таким образом для произвольных сигналов. Нет понятия напряжения и тока. Мощность в этом случае определяется как мощность волны (электромагнитная, если хотите). Так что это

, и это одно число, а не изменяющаяся во времени величина.

\frac{1}{T} \int_{0}^{T} x^{2} (t) d t

$\frac{1}{T} \int_0^Tx^2(t)dt$

— Фонон

Читайте о теореме Винера-Хинчина . Вы отказываетесь понимать, на что вам указывает Фонон, что вычисляемый вами предел является константой, и поэтому его преобразование Фурье - это просто импульс при

в частотной области. Если это плавает на вашей лодке, дерзайте, но это не спектральная плотность мощности, как все остальные это понимают.

f = 0

$f=0$

— Дилип Сарвате

Я читал об этой теореме ... И я понял, как она связывает преобразование Фурье с автокорреляцией. И я не отказываюсь понимать, что сказал Фонон ... Я точно понимаю, что сказал @Phonon. Я не понимаю, почему используется формула автокорреляции, и я также не понимаю, почему используется метод преобразования Фурье (чтобы получить PSD, вы можете взять преобразование Фурье, взять его величину, возвести в квадрат и т. Д.) ... Я понятия не имею, почему это дало бы PSD, и я не смог найти достойного вывода.

— user968243

Ответы:

Вы правы, PSD имеет отношение к вычислению Фурье-преобразования мощности сигнала и угадайте, что ..... он делает. Но сначала давайте посмотрим на математическое соотношение между PSD и функцией автокорреляции.

Условные обозначения:
- Преобразование Фурье: $F [x (t)] = X (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j ω t} d T$ $\mathcal{F}[ x(t)] = X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt$
- Функция автокорреляции (времени): $R (τ) = x (τ) * x (- τ) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) x (t + τ) d t$ $R(\tau) = x(\tau) * x(-\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t + \tau)dt$
Давайте докажем, что преобразование Фурье функции автокорреляции действительно равно спектральной плотности мощности нашего стохастического сигнала . $x(t)$

F [R (τ)] = \int_{- \infty}^{\infty} R (τ) e^{- j ω τ} d τ

$\mathcal{F}[ R(\tau)]= \int_{-\infty}^{\infty} R(\tau)e^{-j\omega \tau}d\tau$

= \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} x (t) x (t + τ) e^{- j ω τ} d t d τ

$= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t + \tau) e^{-j\omega \tau} dtd\tau$

= \int_{- \infty}^{\infty} x (t) \underset{F [x (t + τ)] = X (ω) e^{j ω t}}{\underset{⏟}{\int_{- \infty}^{\infty} x (t + τ) e^{- j ω τ} d τ}} d t

$= \int_{-\infty}^{\infty}x(t) \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} x(t + \tau) e^{-j\omega \tau} d\tau}_{\mathcal{F}[x(t + \tau) ] = X(\omega)e^{j\omega t}} dt$

= X (ω) \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{j ω t} d t

$= X(\omega) {\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{j\omega t} dt}$

= X (ω) X^{*} (ω) = | X (ω) |^{2}

$= X(\omega)X^*(\omega)= |X(\omega)|^2$

Что все это значит? Примечание: это объяснение немного "хакерское". Но здесь это идет

$\mathcal{F}[x(t)]$

Что если вы возьмете ожидаемое значение преобразования Фурье? Это не сработает. Давайте возьмем сигнал с нулевым средним, например.

E {F [x (t)]} = F [E {x (t)}] = 0

$\mathbb{E}\{ \mathcal{F}[x(t)] \} = \mathcal{F}[\mathbb{E}\{ x(t) \}] = 0$

E {F [x^{2} (t)]} = F [\underset{Av. Power of the Signal}{\underset{⏟}{E {x^{2} (t)}}}]

$\mathbb{E}\{ \mathcal{F}[x^2(t)] \} = \mathcal{F}[\underbrace{\mathbb{E}\{ x^2(t) \}}_{\text{Av. Power of the Signal}}]$

$P(t)$

Ссылки:

[1] Связь 1, пл. Драготти, Имперский колледж Лондона

[2] Белый шум и оценка, Ф. Тобар [Неопубликованный отчет]

— ssk08
источник

d t

$dt$

d τ

$d\tau$

\infty

$\infty$

\infty

$\infty$

Да все верно.

— ssk08

x (t)

$x(t)$

x^{2} (t)

$x^2(t)$

N

$N$

N

$N$

@ Мохаммед отлично подвел итог.

— ssk08

Хороший вывод, но я думаю, что вы можете сделать это еще проще

Автокорреляция $r(t) = x(t)*x(-t)$ Это свертка сигнала с перевернутым временем.

Свертка во временной области - это умножение в частотной области.

Изменение времени во временной области является «комплексным сопряженным» в частотной области.

Отсюда получаем

р (ω) знак равно F {р (T)} знак равно F {Икс (T)} F {Икс (- T)} знак равно Икс (ω) {Икс}^{*} (ω) знак равно | Икс (ω) |^{2} знак равно п S D

$R(\omega) = \mathcal{F}\{r(t)\} = \mathcal{F}\{x(t)\}\mathcal{F}\{x(-t)\} = X(\omega) X^*(\omega) = |X(\omega)|^2 = PSD$

— Hilmar
источник

Разве автокорреляция не является сверткой сигнала с его сложным сопряженным, перевернутым во времени «я»?

— Джим Клэй

Я думаю, он предполагает, что сигнал настоящий.

— ssk08

@Jim & ssk08: вы оба правы, конечно. Спасибо за очистку уравнений.

— Хильмар

PSD (спектральная плотность мощности) объяснение

P(t)P(t)P(t)

$P(t)$