Что подразумевается под «стохастической выборкой»?

Что именно подразумевается под «стохастической выборкой» и сильно ли она отличается от обычной теоремы Найквиста-Шеннона ? Связано ли это с отбором случайного процесса?

sampling

— Phonon
источник

Стохастическая выборка не имеет ничего общего с выборкой стохастических сигналов. Это просто означает, что вместо дискретизации через регулярные интервалы, форма волны дискретизируется случайным образом.

Напомним, что в схеме выборки согласно теореме выборки Найквиста-Шеннона непрерывный сигнал на дискретизируется как , где - интервал выборки, а - частота дискретизации. Если максимальная частота в сигнале равна , то должно быть таким, чтобы $x(t)$ $\mathbb{R}$ $x[n]=x(nT),\ n\in\mathbb{Z}$ $T$ $f_s=1/T$ $f_{max}$ $f_s$ чтобы избежать наложения. Для удобства сравнения со случайной выборкой позже в ответе позвольте мне переопределить выборку в несколько иной форме, чем обычно $f_s\geq 2f_{max}$

где- дельта-функция Дирака, адискретизируется только на интервале.

\begin{aligned} s (T) & знак равно Σ_{N знак равно 0}^{е_{s} τ - 1} δ (T - N T) \\ Икс [N] & знак равно Икс (T) \cdot s (T) \end{aligned}

$\begin{align} s(t)&=\sum_{n=0}^{f_s\tau -1}\delta(t-nT)\\ x[n]&=x(t)\cdot s(t) \end{align}$

δ (t)

$\delta(t)$

x (t)

$x(t)$

[0, τ]

$[0,\tau]$

Если вы на самом деле думаете об этом, на практике регулярные выборки довольно ограничены. В некоторых местах возникает алиасинг , и, вероятно, хорошо известным и видимым эффектом являются узоры муара, которые можно воспроизвести в домашних условиях, сфотографировав обычные узоры на телевизоре (примеры ниже).

введите описание изображения здесь

Тем не менее, это всегда проблема с камерами, но никогда не с вашими глазами, если вы должны были видеть картину напрямую! Причина в том, что фоторецепторы в вашей сетчатке не расположены в обычном порядке, в отличие от ПЗС в камере. Идея стохастической выборки (не обязательно идея, которая привела к ее развитию) очень похожа на нерегулярное расположение фоторецепторов в глазу. Это метод сглаживания, который нарушает регулярность выборки.

При стохастической выборке каждая точка в сигнале имеет ненулевую вероятность выборки (в отличие от обычной выборки, когда определенные участки никогда не будут дискретизированы). Простая схема равномерной стохастической выборки может быть реализована на том же интервале что и $[0,\tau]$

\begin{aligned} s (T) & знак равно Σ_{N знак равно 0}^{е_{s} τ - 1} δ (T - T_{N}), T_{N} ~ U (0, τ) \\ Икс [N] & знак равно Икс (T) \cdot s (T) \end{aligned}

$\begin{align} s(t)&=\sum_{n=0}^{f_s \tau -1}\delta(t-t_n),\quad t_n\sim \mathcal{U}(0,\tau)\\ x[n]&=x(t)\cdot s(t) \end{align}$

$\mathcal{U}(0,\tau)$ $[0,\tau]$

При стохастической выборке нет «частоты Найквиста», о которой можно было бы говорить, поэтому алиасинг больше не будет проблемой, как раньше. Тем не менее, это идет по цене. То, что вы получаете в сглаживании, вы теряете из-за шума в системе. Стохастическая выборка вводит высокочастотный шум, хотя для нескольких приложений (особенно в изображениях) сглаживание является намного более сильной помехой, чем шум (например, вы можете легко видеть узоры муара на изображениях выше, но в меньшей степени спекл-шум ).

Насколько я знаю, схемы стохастической выборки почти всегда используются в пространственной выборке (при обработке изображений, компьютерной графике, обработке массивов и т. Д.), А выборка во временной области по-прежнему преимущественно регулярна (я не уверен, что люди вообще беспокоятся со стохастической выборкой во временной области). Существует несколько различных схем стохастической выборки, таких как выборка Пуассона, выборка с дрожанием и т. Д., Которые вы можете посмотреть, если вам интересно. Для общего, сдержанного введения в тему, см.

МАЗ Диппе и Э. Уолд, "Сглаживание с помощью стохастической выборки" , SIGGRAPH, Vol. 19, № 5, с. 69-78, 1985.

— Лорем Ипсум
источник

Есть несколько применений схем стохастической выборки во временной области; случайные интервалы выборки могут использоваться при сжатии , хотя методика не является универсально применимой.

— Джейсон Р

@JasonR Спасибо. Я знаю о приложении в сжатых измерениях, но оно работает только из-за разреженности, поэтому я не упомянул об этом. (кроме того, примеры, которые я видел в сжатом зондировании, также в основном касаются изображений / пространственной выборки, но это может быть просто моим уклоном от выборочного чтения)

— Lorem Ipsum

можно улучшить пример изображения, экстраполированного из стохастической выборки.

— CyberMen