Почему автокорреляция достигает своего пика в нуле?

11

Я знаю, что смещение нуля в автокорреляционной функции равно ее энергии, но я хотел бы понять, почему пик равен нулю.

autocorrelation

— itamarb
источник

Вот отличное объяснение, наслаждайтесь! personal.maths.surrey.ac.uk/st/J.Deane/Teach/eee2035/…

— ampholyte

10

Вы ищете формальное доказательство или интуицию за этим? В последнем случае: «Ничто не может быть более похоже на функцию, чем она сама». Автокорреляция при lag измеряет сходство между функцией и той же функцией, сдвинутой на . Обратите внимание, что если периодический, то смещается на любое целое число, кратное и совпадают, поэтому автокорреляция имеет форму гребня - с пиками на целых кратных периода с той же высотой, что и центральный пик. $\tau$ $f$ $\tau$ $f$ $f$ $\tau$ $f$

— pichenettes
источник

2

@JasonR Сигнал с конечной энергией (о чем спрашивает ОП, поскольку он говорит, что автокорреляционная функция при нулевом запаздывании является энергией) не может быть периодическим, и поэтому вторая половина этого ответа не применима к вопросу ОП, но применяется к периодической автокорреляционной функции, которую определяют для периодических сигналов. В своем ответе я попытался провести различие между этими двумя случаями, а также указал, что автокорреляционные функции периодических сигналов могут иметь периодические долины столь же глубокие, как периодические пики.

— Дилип Сарватэ

@Dilip: Как всегда, хорошие моменты.

— Джейсон Р

это не доказательство, даже близко не доказательство. просто слова, которые работают только потому, что вы знаете ответ.

— Джон Смит

7

Автокорреляционная функция апериодического сигнала с конечной энергией в дискретном времени задается как

R_{x} [n] = \sum_{m = - \infty}^{\infty} x [m] x [m - n] or R_{x} [m] = \sum_{m = - \infty}^{\infty} x [m] (x [m - n])^{*}

$R_x[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]x[m-n]~~~~ \text{or}~~~ R_x[m] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m](x[m-n])^*$ для реальных сигналов и сложных сигналов соответственно. Для простоты изложения ограничимся реальными сигналами. Рассмотрим слагаемое

x [m] x [m - n]

$x[m]x[m-n]$ . Для фиксированной задержки

n

$n$ и заданного

m

$m$ ,

x [m] x [m - n]

$x[m]x[m-n]$ обычно будет иметь положительное или отрицательное значение. Если так происходит, что для определенной задержки

n

$n$ ,

x [m] x [m - n]

$x[m]x[m-n]$ неотрицательна для всех

m

$m$ , тогда все слагаемые в сумме будут суммироваться (без отмены), и поэтому

R_{x} [n]

$R_x[n]$ гарантированно будет иметь положительное значение. Фактически, сумма будет наибольшей, если все пики в

x [m - n]

$x[m-n]$ совпадают с пиками в

x [m]

$x[m]$ а долины в

x [m - n]

$x[m-n]$ совпадают с долинами в

x [m]

$x[m]$ . Например, если

x

$x$ является функцией sinc с избыточной выборкой, скажем,

Икс [м] знак равно {\begin{cases} \frac{грех (0,1 π м)}{0,1 π м}, & м \neq 0, \\ 1, & м знак равно 0 \end{cases}

$x[m] = \begin{cases} \frac{\sin(0.1 \pi m)}{0.1 \pi m}, & m \neq 0,\\ 1, & m = 0\end{cases}$ с пиками при

m = 0, \pm 25, \pm 45, \dots

$m = 0, \pm 25, \pm 45, \ldots$ и долинами при

\pm 15, \pm 35, \pm 55, \dots

$\pm 15, \pm 35, \pm 55, \ldots$

x (t)

$x(t)$ , затем

R_{x} [n]

$R_x[n]$ будет иметь максимумыпри

n = 0, \pm 25, \pm 45, \dots

$n = 0, \pm 25, \pm 45, \ldots$ (и, к тому же, будут иметьминимумыпри

n = \pm 15, \pm 35, \pm 55, \dots

$n = \pm 15, \pm 35, \pm 55, \ldots$ когда пики совпадают с долинами). Глобальныймаксимум

R_{x} [n]

$R_x[n]$ , очевиднопри задержке

n = 0

$n = 0$ , когда самый высокий пик в

x [m]

$x[m]$ и

x [m - n]

$x[m-n]$ совпадают. На самом деле, этот вывод относится не только к этому сигналу, но клюбомусигнал. При лаге

n = 0

$n = 0$ имеем

р_{Икс} [0] знак равно Σ_{м знак равно - \infty}^{\infty} (Икс [м])^{2}

$R_x[0] = \sum_{m=-\infty}^\infty (x[m])^2$ и мы гарантируем, что не только все пики и впадины выровнены друг с другом (независимо от того, где они встречаются в

x [m]

$x[m]$ ), но также и то, что самые высокие пики и самые глубокие долины выстроены в линию соответствующим образом.

Более формально, для педантов типа @JohnSmith, которые требуют формальных доказательств, неравенство Коши говорит, что для комплексных последовательностей $u$ и $v$ ,

{| \sum_{m} u [m] (v [m])^{*} |}^{2} \leq \sum_{m} | u [m] |^{2} \sum_{n} | v [m] |^{2} .

- \sqrt{\sum_{m} {(u [m])}^{2} \sum_{m} {(v [m])}^{2}} \leq \sum_{m} u [m] v [m] \leq \sqrt{\sum_{m} {(u [m])}^{2} \sum_{m} {(v [m])}^{2}}

$-\sqrt{\sum_m \left(u[m]\right)^2 \sum_m \left(v[m]\right)^2} \leq \sum_m u[m]v[m] \leq \sqrt{\sum_m \left(u[m]\right)^2 \sum_m \left(v[m]\right)^2}$ гдеравенствовыполняется в верхней (нижней) границе, если существует положительное (отрицательное) число

λ

$\lambda$ такое, что

u = λ v

$u = \lambda v$ , (то есть

u [m] = λ v [m] \forall m

$u[m]=\lambda v[m] ~ \forall m$ где

λ > 0

$\lambda > 0$ (

λ < 0

$\lambda < 0$ )). Признавая, что суммы внутри квадратных корней являются энергиями

E_{u}

$\mathcal E_u$ и

E_{v}

$\mathcal E_v$ последовательностей, мы можем написать, что

- \sqrt{E_{u} E_{v}} \leq \sum_{m} u [m] v [m] \leq \sqrt{E_{u} E_{v}}

$-\sqrt{\mathcal E_u \mathcal E_v} \leq \sum_m u[m]v[m] \leq \sqrt{\mathcal E_u \mathcal E_v}$ Установка

u [m] = x [m]

$u[m] = x[m]$ и

v [m] = x [m - n]

$v[m] = x[m-n]$ где

n

$n$ - некоторое целое число, мы имеем это

- \sqrt{\sum_{m} {(x [m])}^{2} \sum_{m} {(x [m - n])}^{2}} \leq R_{x} [n] \leq \sqrt{\sum_{m} {(x [m])}^{2} \sum_{m} {(x [m - n])}^{2}}

$-\sqrt{\sum_m \left(x[m]\right)^2 \sum_m \left(x[m-n]\right)^2} \leq R_x[n] \leq \sqrt{\sum_m \left(x[m]\right)^2 \sum_m \left(x[m-n]\right)^2}$ и признавая, что теперь

E_{u} = E_{v} = E_{x}

$\mathcal E_u = \mathcal E_v = \mathcal E_x$ , мы получаем, что

- E_{x} \leq R_{x} [n] \leq E_{x}

$-\mathcal E_x \leq R_x[n] \leq \mathcal E_x$ с равенством удерживая в одной из границ, если

x [m] = λ x [m - n]

$x[m] = \lambda x[m-n]$ для всех

m

$m$ . И, наконец, отметить , что

E_{x} = \sum_{m} (x [m])^{2} = R_{x} [0]

$\mathcal E_x = \sum_m (x[m])^2 = R_x[0]$ , и что , когда

n = 0

$n=0$ , то последовательность

u [m] = x [m]

$u[m] = x[m]$ является идентичной с последовательностью

v [m] = x [m - n] = x [m - 0] = x [m]

$v[m] = x[m-n] = x[m-0] = x[m]$ (то есть

λ = 1

$\lambda = 1$ - это положительное действительное число, такое что

u [m] = λ v [m]

$u[m] = \lambda v[m]$ для всех

m

$m$ ), имеем, что

- R_{x} [0] \leq R_{x} [n] \leq R_{x} [0]

$-R_x[0] \leq R_x[n] \leq R_x[0]$ показывающий, что

R_{x} [n]

$R_x[n]$ имеет пиковое значение при

n = 0

$n=0$ все остальные значения автокорреляции меньше этого пика.

Когда $x[m]$ является периодическим сигналом конечной мощности, приведенные выше суммы для $R_x[n]$ расходятся. В таких случаях, как используются периодическая функция автокорреляции

R_{x} [n] = \sum_{m = 0}^{N - 1} x [m] (x [m - n])

$R_x[n] = \sum_{m=0}^{N-1} x[m](x[m-n])$ , где

N

$N$ является периодом

x [m]

$x[m]$ , то есть,

x [m] = x [m - N]

$x[m] = x[m-N]$ для всех целых чисел

m

$m$ . Обратите внимание, что

R_{x} [n]

$R_x[n]$ является периодической функцией от

n

$n$ . Теперь, пока верно, что

R_{x} [0] \geq | R_{x} [n] |

$R_x[0] \geq |R_x[n]|$ для

1 < n < N

$1 < n < N$ максимальное значение

R_{x} [0]

$R_x[0]$ также периодически повторяется:

R_{x} [k N] = R_{x} [0]

$R_x[kN] = R_x[0]$ для всех целых чисел

k

$k$ . Отметим также, что возможно, что

R_{x} [n] = - R_{x} [0]

$R_x[n] = -R_x[0]$ для некоторого

n \in {1, 2, \dots, N - 1}

$n \in \{1, 2, \ldots, N-1\}$ , обычно при

n = N / 2

$n = N/2$ если

N

$N$ четное, и поэтому мы могут иметь долины, столь же глубокие, как самые высокие пики впериодическомавтокорреляционная функция. Простейшим примером такой последовательности является случай, когда

N = 2

$N=2$ и один период последовательности равен

[1 - 1]

$[1 ~ -1]$ , периодическая автокорреляция которого представляет собой просто периодическую последовательность

[2 - 2]

$[2 ~ -2]$ , то есть чередование пиков и впадин с автокорреляцией

R_{x} [n]

$R_x[n]$ имеет пиковое значение

2

$2$ когда

n

$n$ - четное целое число (не забывайте, что

0

$0$ - четное целое число!) и имеющее «антипиковое» значение

- 2

$-2$ при нечетных значениях

n

$n$ , В более общем смысле, мы имеем это явление всякий раз, когда

N

$N$ четное и один период

\vec{x}

$\vec{x}$ может быть разложен на

[\vec{x^{'}}, - \vec{x^{'}}]

$[\vec{x^\prime}, -\vec{x^\prime}]$ .

— Дилип Сарватэ
источник

3

с помощью

{(x [n] - x [n + m])}^{2} = x^{2} [n] + x^{2} [n + m] - 2 x [n] x [n + m]

$\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 = x^2[n] + x^2[n+m] - 2x[n]x[n+m]$

можно легко показать, что

\begin{aligned} R_{x} [m] & = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] x [n + m] \\ = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x^{2} [n] - \frac{1}{2} \sum_{n = - \infty}^{\infty} {(x [n] - x [n + m])}^{2} \\ = R_{x} [0] - \frac{1}{2} \sum_{n = - \infty}^{\infty} {(x [n] - x [n + m])}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} R_x[m] & = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]x[n+m] \\ & = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x^2[n] - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 \\ & = \ R_x[0] \quad \quad - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 \\ \end{align}$

первый член - просто а второй член - неотрицательное число, вычитаемое из первого. это означает, что не может превышать для любого . $R_x[0]$ $R_x[m]$ $R_x[0]$ $m$

— Роберт Бристоу-Джонсон
источник

1

единственный правильный ответ здесь. Большое спасибо, я испытал затруднения, получая это непосредственно.

— Джон Смит