Почему это ручное билинейное преобразование дает результаты, отличные от результатов Matlab?

10

У меня есть фильтр Баттерворта первого порядка с частотой среза . Его передаточная функция тогда $\omega_c$

H (s) = \frac{ω_{c}}{s + ω_{c}}

$H(s) = \frac{\omega_c}{s+\omega_c}$

Используя билинейное преобразование, чтобы найти (как называется эта функция?), Я получаю $H(z)$

H (z) = \frac{ω_{c}}{\frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1} + ω_{c}} = \frac{ω_{c} z + ω_{c}}{(\frac{2}{T} + ω_{c}) z + ω_{c} - \frac{2}{T}}

$H(z)=\frac{\omega_c}{\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1} + \omega_c} = \frac{\omega_c z + \omega_c}{\left(\frac{2}{T}+\omega_c\right)z + \omega_c-\frac{2}{T}}$

Однако я не могу согласовать этот результат с тем, что делает Matlab. Это кажется неправильным, независимо от того , какое значение . Я предполагаю, что и ниже находятся коэффициенты . $T$ BA $H(z)$

>> [B,A] = butter(1,0.5)
B = 0.5000    0.5000
A = 1.0000   -0.0000
>> [B,A] = butter(1,0.6)
B = 0.5792    0.5792
A = 1.0000    0.1584
>> [B,A] = butter(1,0.7)
B = 0.6625    0.6625
A = 1.0000    0.3249
>> [B,A] = butter(1,0.8)
B = 0.7548    0.7548
A = 1.0000    0.5095

Что я недопонимаю?

filters matlab

— Andreas
источник

MATLAB не использует аналого-цифровое преобразование. Он проектирует фильтр в цифровой форме, поэтому идея билинейного преобразования может быть неприменима.

— Фонон

1

@Phonon: этот ответ, кажется, указывает на то, что Matlab каким-то образом использует билинейное преобразование.

— Андреас

В конце игры, но все заглавные функции H в z / s / \ omega обычно называются передаточной функцией. Когда аргументом является время или выборка, он называется импульсным откликом и обычно в нижнем регистре, h. Таким образом, передаточная функция - это преобразование (Z, Фурье, Лапласа в зависимости от приложения) импульсной характеристики.

— Эмануэль Ландехольм

10

Пара вещей:

Перед выполнением подстановки необходимо предварительно обрезать частоту среза, выполнив подстановку: $s = \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}$

ω_{c, w} = \frac{2}{T} \tan (ω_{c} \frac{T}{2})

$\omega_{c,w} = \frac{2}{T} \tan (\omega_c\frac{T}{2})$

где - деформированная частота среза. Это необходимо, потому что билинейное преобразование отображает левую полуплоскость в области Лапласа (используется в конструкции аналогового фильтра) в единичную окружность в -домене нелинейным образом. Поэтому при приближении к скорости Найквиста (цифровые частоты ) приближение к прототипу аналогового фильтра становится неточным. $\omega_{c,w}$ $z$ $\pm \pi$

Кроме того, вторым параметром, который вы передаете в butterфункцию, является нормализованная частота среза, а не интервал выборки . Нормализованная частота, используемая этой функцией, находится в интервале и равна отношению желаемой частоты среза к скорости Найквиста: $T$ $(0,1)$

ω_{n} = \frac{ω_{c}}{2 π \frac{f_{s}}{2}}

$\omega_n = \frac{\omega_c}{2 \pi \frac{f_s}{2}}$

ω_{n} = \frac{ω_{c}}{π f_{s}}

$\omega_n = \frac{\omega_c}{\pi f_s}$

ω_{n} = \frac{ω_{c} T}{π}

$\omega_n = \frac{\omega_c T}{\pi}$

— Джейсон Р
источник

ω_{c}

$\omega_c$

o m e g a_{c}, w

$omega_c,w$

H (z)

$H(z)$

H (s)

$H(s)$

H (s)

$H(s)$

s

$s$

z

$z$

5

Открывая код для butterфункции MATLAB , мы видим, что она использует предварительное преобразование частоты :

%# step 1: get analog, pre-warped frequencies
if ~analog,
    fs = 2;
    u = 2*fs*tan(pi*Wn/fs);
else
    u = Wn;
end

— Phonon
источник