Почему выборка периодического непрерывного сигнала не дает периодического дискретного сигнала?

В последнее время я изучаю сигналы и системы и натолкнулся на следующее утверждение:

Равномерная выборка периодического непрерывного сигнала не может быть периодической!

Может кто-нибудь объяснить, почему это утверждение верно?

Если соотношение между частотой дискретизации и частотой вашего сигнала иррационально, у вас не будет периодического дискретного сигнала.

Предполагая, что у вас синусоида 1 кГц, и вы производите выборку при 3000 * sqrt (2) Гц. Вы будете иметь около 4,2 образцов за период. Однако вы не сможете сэмплировать синусоидальную волну точно в одном и том же месте. Следовательно, ваш цифровой сигнал не будет периодическим.

Однако, если вы сэмплируете один и тот же сигнал 1 кГц на частоте 4 кГц, вы получите периодический дискретный сигнал. Период будет 4 образца.

— Бен
источник

И что довольно интересно (поправьте меня, если я ошибаюсь), поскольку мера рациональных значений равна нулю, если дискретизировать непрерывный периодический сигнал дискретно, не зная его частоты, вероятность получения периодического дискретного сигнала равна нулю (теоретически, однако в практика из-за квантования не будет так плоха).

— Аполлис поддерживает Монику

@Apollys С другой стороны, рациональные числа плотны в реалах, и время жизни Вселенной, возможно, и наше, конечно, ограничено, поэтому получение чего-то достаточно близкого к периодическому (хотя, возможно, с большим периодом) более чем вероятно - в в частности, когда сигнал и выборка не генерируются контролируемыми процессами в невесомости и вблизи абсолютного нуля температуры и еще много чего ...

— Хаген фон

Поправьте меня, если я ошибаюсь: но когда входной сингл установлен 1kHzи вы используете сэмпл 3.5kHz, вы получаете периодический сигнал с периодом времени 2ms. Чтобы получить периодический сигнал, f_sне нужно, n*f_inно можноn*f_in/m

— 12431234123412341234123

Да, соотношение между 3,5 кГц и 1 кГц является рациональным числом, 2/7, т.е. не иррациональным.

— Бен

@Apollys: Да, но в некоторых системах они реализуют контур управления для регулировки частоты дискретизации, кратной частоте сигнала, представляющего интерес. Например, в энергосистемах, где частота дискретизации отслеживает частоту сетки. Это облегчает некоторые вычисления, например, вычисляет среднее значение, среднеквадратичное значение и гармоники.

— Бен