Какие методы аппроксимации существуют для функции квадратного суперкорня?

Мне нужно реализовать приближение к обратному $x^x$ , т.е. функцию квадратного суперкорня (ssrt). Например, $\mathrm{ssrt}(2) \approx 1.56$ означает, что $1.56^{1.56} \approx 2$ . Меня не так интересует какая-либо конкретная точность / битовая глубина, как понимание того, какие у меня варианты, в отличие от более простых подходов с использованием степенных рядов.

Wolfram Alpha дает хорошее символическое решение в терминах W-функции Ламберта (т. $\ln(x)/W(\ln(x))$ ). Википедия дает такую же формулу , как и эквивалент $e^{W(\ln(x))}$ . Учитывая, что имеется достаточное количество информации о вычислениях $W(x)$ [1] [2], технически это все, что нужно для реализации чего-либодля различных требований. Я знаю, по крайней мере, две книги, в которых подробно описывается аппроксимация $\ln(x)$ [3] [4], поэтому есть даже много возможностей для оптимизации в этом направлении.

Однако у меня есть два вопроса:

Были ли где-нибудь опубликованы методы аппроксимации, специфичные для этой функции?
Идет ли оно под другим именем, кроме «квадратный супер-корень», что немного облегчит поиск ссылок?

Википедия / Google опубликовали некоторые ссылки, посвященные более общим функциям «тетратации», которые включают $\mathrm{ssrt}(x)$ в качестве особого случая, но большинство из них, похоже, более приспособлены для изучения / определения общих случаев.

Corless, R .; Gonnet, G .; Заяц, Д .; Джеффри Д. Кнут, Дональд (1996), «О функции Ламберта W» http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf
Электронная библиотека математических функций . http://dlmf.nist.gov/4.13
Crenshaw, Jack W. (2000), Math Toolkit для программирования в реальном времени.
Харт, Джон Ф. (1978), Компьютерные аппроксимации.
Chapeau-Blondeau, F. and Monir, A. (2002). Численная оценка W-функции Ламберта и ее применение для генерации обобщенного гауссовского шума с показателем 1/2. Операции IEEE по обработке сигналов 50, 2160-2165. http://www.istia.univ-angers.fr/~chapeau/papers/lambertw.pdf
Минеро, Пол. Быстрая Приблизительная Ламберта W . http://www.machinedlearnings.com/2011/07/fast-approximate-lambert-w.html

Обновить

После этого еще несколько исследований , в течение последних нескольких дней, я до сих пор не нашел своего рода практических «Кренего стиль» лечение я надеялся на, но я нашел новый Ссылка стоит документировать здесь. На третьей странице в есть раздел, озаглавленный «Быстрое приближение», в котором подробно рассказывается о приближении в контексте генерации шума. Интересно отметить, что плотность вероятности «гауссовского шума с показателем 1/2» [в статье] выглядит поразительно похожей на гистограмму в ответе Келленджба на $[3]$ $\mathrm{ssrt}(x)$ $[5]$ $W(x)$ этот вопрос об обнаружении отсечения сигнала .

Кроме того, ссылка, предоставленная rwong в комментариях является отличным ресурсом для фактической реализации , и она даже ссылается на лицензированный проект BSD автора под названием fastapprox , который включает в себя описанную реализацию. $[6]$ $W(x)$

approximation

— специалист по обработке данных
источник

machinedlearnings.com/2011/07/fast-approximate-lambert-w.html

— rwong

Я спрашивал об этом в Meta, так как поле комментариев не предназначено для расширенных обсуждений. Пожалуйста, предложите, как мы должны решить эти вопросы здесь: Есть вопросы по численному анализу по теме?

@datageist - Первоначальный вывод из мета-вопроса состоял в том, что если вы хотите использовать этот численный анализ для обработки данных DSP, то это по теме. Если нет, то нет. Как это относится к DSP?

— Кевин Вермеер

@Kevin Это возникло в контексте разработки аудиоэффекта.

— Datageist

Всякий раз, когда мне нужно написать подпрограмму для функции Ламберта, я обычно использую приближения, приведенные в этой статье, а затем полирую с помощью Ньютона-Рафсона, Галлея или любого другого итерационного метода. Вы можете адаптировать этот подход для инвертирования

...

x^{x}

$x^x$

Некоторые числовые удары в темноте дали следующий результат для итеративного подхода:

Мы ищем решение y = f (x), где y ^ y = x.

y \ln y = \ln x

$y \ln y = \ln x$

y = g (x, y) = e^{\frac{\ln x}{y}}

$y = g(x,y) = e^{\frac{\ln x}{y}}$

Значение для является фиксированной точкой вышеприведенного уравнения, и эмпирически оно кажется сходящимся для некоторых значений , но для больших значений оно колеблется или расходится. $y$ $x$ $x$

Затем я попробовал подход, подобный итеративному квадратному корню Ньютона:

y = \frac{y_{p r e v i o u s} + y_{*}}{2} = \frac{y + e^{\frac{\ln x}{y}}}{2}

$y = \frac{y_{previous} + y_{*}}{2} = \frac{y + e^{\frac{\ln x}{y}}}{2}$

где y * должен представлять собой не сходящийся, но оптимистичный ответ, который сохраняет точность, если вы угадаете точное начальное значение (в квадратном корне y ² = x, это y * = x / y).

Это кажется сходящимся, но очень медленно в нижнем конце (около $x$ ) $x_{min} = (\frac{1}{e})^{\frac{1}{e}}$

Это также выглядит, как хорошее первоначальное предположение: . $y_0 = \ln(x)+1$

Поэтому я подумал, что, может быть, есть более подходящее решение:

для некоторого значения , являющегося функцией . $y = (1-a) \times y + a \times g(x,y)$ $a$ $x$

Тогда я нашел что-то интересное.

Если я получу сходящийся ответ из вышеприведенного подхода для , а затем вычислю $y$ $y^y = x$ , этовыглядит так,как будто= приблизительно.... например, если у нас было предположение, чтодля некоторого неизвестного, и вычислили, то $y_2 = g(x,y+ \epsilon) = e^{\frac{\ln(x)}{y+\epsilon}}$ $y_2-y$ $\epsilon \times (-\ln(y))$ $y_1 = y + \epsilon$ $\epsilon$ $y_2 = g(x,y_1)$ . (Просто чтобы уточнить, у меня нет анализа, чтобы подтвердить это, но цифры просто выпали из какой-то численной оценки, которую я выполнил.) $(y_2 - y) \approx \epsilon \times (-\ln(y)) = (y_1 - y) \times (-\ln(y))$

Решите для линейных членов в , и вы получите $y$ $y = \dfrac{y_2 + \ln(y) \times y_1}{1 + \ln(y)}$ $\ln(y_1)$ $\ln(y)$

\begin{aligned} y [n + 1] & = \frac{g (x, y [n]) + \ln (y [n]) \times y [n]}{1 + \ln (y [n])} \\ = \frac{e^{\frac{\ln (x)}{y [n]}} + \ln (y [n]) \times y [n]}{1 + \ln (y [n])} \end{aligned}

$\begin{align*} y[n+1] &= \frac{g(x,y[n]) + \ln(y[n])\times y[n]}{1+\ln(y[n])}\\ &= \frac{e^{\frac{\ln(x)}{y[n]}} + \ln(y[n])\times y[n]}{1+\ln(y[n])} \end{align*}$

$y = 1+\ln(x)$

(Кто-то может показать, что это в некотором роде эквивалентно Ньютон-Рафсону, но я думаю, что это за пределами моих возможностей.)

— Джейсон С
источник