Нахождение полиномиальных приближений синусоиды

Я хочу аппроксимировать синусоидальную волну, заданную $\sin\left(\pi x\right)$ , применяя полиномиальную форму волны к простой треугольной волне , генерируемой функцией

$$T\left(x\right)=1-4\left|\tfrac{1}{2}-\operatorname{mod}(\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{4},\ 1)\right|$$

где $\operatorname{mod}(x, 1)$ - дробная часть $x$ :

$$\operatorname{mod}(x, y) \triangleq y \cdot \left( \left\lfloor \frac{x}{y}\right\rfloor - \frac{x}{y} \right)$$

Ряд Тейлора может быть использован как волновод.

$$S_1\left(x\right)=\frac{\pi x}{2}-\frac{\frac{\pi x}{2}^3}{3!}+\frac{\frac{\pi x}{2}^5}{5!}-\frac{\frac{\pi x}{2}^7}{7!}$$

Учитывая вышеупомянутые функции, даст нам достойное приближение синусоиды. Но нам нужно подняться до 7-й степени серии, чтобы получить разумный результат, и пики немного низкие и не будут иметь наклон ровно ноль.$S_1(T(x))$

Вместо ряда Тейлора мы могли бы использовать полиномиальный формирователь волн, следуя нескольким правилам.

• Должны пройти через -1, -1 и + 1, + 1.
• Наклон в -1, -1 и + 1, + 1 должен быть нулевым.
• Должен быть симметричным.

Простая функция, отвечающая нашим требованиям:

$$S_2\left(x\right)=\frac{3x}{2}-\frac{x^3}{2}$$

Графики $S_2(T(x))$ и $\sin\left(\pi x\right)$ довольно близки, но не так близки, как ряд Тейлора. Между пиками и переходами через нуль они заметно отклоняются. Более тяжелая и точная функция, отвечающая нашим требованиям:

$$S_3\left(x\right)=\frac{x(x^2-5)^2}{16}$$

Это, вероятно, достаточно близко для моих целей, но я задаюсь вопросом, существует ли другая функция, которая более близко приближает синусоидальную волну и в вычислительном отношении дешевле. Я довольно хорошо разбираюсь в том, как найти функции, удовлетворяющие трем требованиям выше, но я не уверен, как найти функции, которые отвечают этим требованиям, а также наиболее точно соответствуют синусоиде.

Какие существуют методы поиска полиномов, которые имитируют синусоидальную волну (применительно к треугольной волне)?

---

Чтобы уточнить, я не обязательно ищу только нечетно-симметричные полиномы, хотя это самый простой выбор.

Нечто подобное следующей функции может также соответствовать моим потребностям:

$$S_4\left(x\right)=\frac{3x}{2}+\frac{x^2}{4}+\frac{x^4}{4}$$

Это соответствует требованиям в отрицательном диапазоне, и кусочное решение может быть использовано, чтобы применить его и к положительному диапазону; например

$$\frac{3x}{2}-\frac{P\left(x,2\right)}{4}-\frac{P\left(x,4\right)}{4}$$

где $P$ - подписанная степенная функция .

Я также был бы заинтересован в решениях, использующих функцию степеней со знаком для поддержки дробных показателей, поскольку это дает нам еще одну «ручку кручения» без добавления другого коэффициента.

$$a_0x\ +a_1P\left(x,\ p_1\right)$$

Учитывая правильные константы, это может потенциально получить очень хорошую точность без тяжести полиномов пятого или седьмого порядка. Ниже приведен пример выполнения требований , описанных здесь , с использованием некоторых подобранных констант: 0 = 1. ¯ 666 , 1 = - 0. ¯ 666 , р 1 = 2,5 .$a_0=1.\overline{666}, a_1=-0.\overline{666}, p_1=2.5$

$$\frac{5x-2P\left(x,\ \frac{5}{2}\right)}{3}$$

На самом деле эти константы очень близки к $\frac \pi 2$ , а$1 - \frac \pi 2$ и$e$. Включение в них дает то, чтовыглядиточень близко к синусоиде.

$$\frac{\pi}{2}x\ +\left(1-\frac{\pi}{2}\right)P\left(x,e\right)$$

Другими словами, выглядит очень близко кsin(x)между 0,0 и π / 2,1. Есть мысли о значении этого? Возможно, такой инструмент, как Octave, поможет найти «лучшие» константы для этого подхода.$x-\frac{x^e}{6}$$\sin(x)$

Около десяти лет назад я сделал это для неназванной музыкальной компании, которая занималась исследованиями и разработками недалеко от моей квартиры в Уолтеме, штат Массачусетс. (не могу представить, кто они.) У меня нет коэффициентов.

но попробуйте это:

$$\begin{align} f(x) &\approx \sin\left(\tfrac{\pi}{2} x \right) \qquad \qquad \text{for }-1 \le x \le +1 \\ \\ &= \tfrac{\pi}{2} x (a_0 + a_1 x^2 + a_2 x^4) \\ \end{align}$$

это гарантирует, что .$f(-x) = -f(x)$

Чтобы гарантировать, что тогда$f'(x) \Big|_{x=\pm1} =0$

$$f'(x) = \tfrac{\pi}{2}( a_0 + 3 a_1 x^2 + 5 a_2 x^4)$$

$$a_0 + 3 a_1 + 5 a_2 = 0 \tag{1}$$

That's the first constraint. To guarantee that $|f(\pm 1)| = 1$, then

$$a_0 + a_1 + a_2 = \tfrac{2}{\pi} \tag{2}$$

That's the second constraint. Eliminating $a_0$ and solving Eqs. (1) and (2) for $a_2$ in terms of $a_1$ (which is left to adjust):

$$a_0 = \tfrac{5}{2 \pi} - \tfrac{1}{2} a_1$$

$$a_2 = -\tfrac{1}{2 \pi} - \tfrac{1}{2} a_1$$

Now you have only one coefficient, $a_1$, left to twiddle for best performance:

$$f(x) = \tfrac{\pi}{2} x \left((\tfrac{5}{2 \pi} - \tfrac{1}{2} a_1) + a_1 x^2 - (\tfrac{1}{2 \pi} + \tfrac{1}{2} a_1)x^4 \right)$$

This is the way I would twiddle $a_1$ for best performance for a sine wave oscillator. I would adjust use the above and the symmetry of the sine wave about $x=1$ and place exactly one entire cycle in a buffer with a power of two number of points (say 128, i don't care) and run the FFT on that perfect cycle.

The FFT result bin 1 will be the strength of the sine and should be about $N/2$. Now you can adjust $a_1$ to bring your 3rd harmonic distortion up and down. I would start with $a_1 \approx \tfrac{5}{\pi} - 2$ so that $a_0 \approx 1$. That's in bin 3 of the FFT results But the 5th harmonic distortion (value in bin 5) will be consequential (it will go up as the 3rd harmonic goes down). I would adjust $a_1$ so that the strength of the 5th harmonic level is equal to the 3rd harmonic level. It will be around -70 dB from the 1st harmonic (as I recall). That will be the nicest-sounding sine wave from a cheap, 3-coefficient, 5th-order, odd-symmetrical polynomial.

Someone else can write the MATLAB code. How does that sound to you?

What is usually done is an approximation minimizing some norm of the error, often the $L_{\infty}$-norm (where the maximum error is minimized), or the $L_2$-norm (where the mean squared error is minimized). $L_{\infty}$-approximation is done by using the Remez exchange algorithm. I'm sure you can find some open source code implementing that algorithm. However, in this case I think a very simple (discrete) $l_2$-optimization is sufficient. Let's look at some Matlab/Octave code and the results:

x = linspace(0,pi/2,300);    % grid on [0,pi/2]
x = x(:);
% overdetermined system of linear equations
% (using odd powers only)
A3 = [x,x.^3];
A5 = [x,x.^3,x.^5];
b = sin(x);
% solve in l2 sense
c3 = A3\b;
c5 = A5\b;
f3 = A3*c3;    % 3rd order approximation
f5 = A5*c5;    % 5th order approximation

The figure below shows the approximation errors for the $3^{rd}$-order and for the $5^{th}$-order approximations. The maximum approximation errors are 8.8869e-03 and 1.5519e-04, respectively.

The optimum coefficients are

c3 =
   0.988720369237930
  -0.144993929056091

and

c5 =
   0.99976918199047515
  -0.16582163562776930
   0.00757183954143367

So the third-order approximation is

$$\sin(x)\approx 0.988720369237930x-0.144993929056091x^3,\quad x\in[-\pi/2,\pi/2]\tag{1}$$

and the fifth-order approximation is

$$\sin(x)\approx 0.99976918199047515x-0.16582163562776930x^3+\\0.00757183954143367x^5,\quad x\in[-\pi/2,\pi/2]\tag{2}$$

EDIT:

I had a look into approximations with the signed power function, as suggested in the question, but the best approximation is hardly better than the third-order approximation shown above. The approximating function is

$$f(x)=x - \frac{1}{p}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{1-p}x^p,\qquad x\in[0,\pi/2]\tag{3}$$

where the constants were chosen such that $f'(0)=1$ and $f'(\pi/2)=0$. The power $p$ was optimized to achieve the smallest maximum error in the range $[0,\pi/2]$. The optimal value for $p$ was found to be $p=2.774$. The figure below shows the approximation errors for the third-order approximation $(1)$ and for the new approximation $(3)$:

The maximum approximation error of the approximation $(3)$ is 4.5e-3, but note that the third-order approximation only exceeds that error close to $\pi/2$ and that for the most part its approximation error is actually smaller than the one of the signed power function.

EDIT 2:

If you don't mind division you could also use Bhaskara I's sine approximation formula, which has a maximum approximation error of 1.6e-3:

$$\sin(x)\approx\frac{16x(\pi-x)}{5\pi^2-4x(\pi-x)},\qquad x\in [0,\pi/2]\tag{4}$$

Start with an otherwise general, odd-symmetry 5th-order parameterized polynomial:

$$\begin{align} f(x) &= a_0 x^1 + a_1 x^3 + a_2 x^5 \\ &= x\big( a_0 + a_1 x^2 + a_2 x^4 \big) \\ &= x\bigg( a_0 + x^2 \Big(a_1 + a_2 x^2\Big) \bigg) \\ \end{align}$$

Now we place some constraints on this function. Amplitude should be 1 at the peaks, in other words $f(1) = 1$. Substituting $1$ for $x$ gives:

$$a_0 + a_1 + a_2 = 1 \tag1$$

That's one constraint. The slope at the peaks should be zero, in other words $f'(1) = 0$. The derivative of $f(x)$ is

$$a_0 + 3 a_1 x^2 + 5 a_2 x^4$$

and substituting $1$ for $x$ gives our second constraint:

$$a_0 + 3 a_1 + 5 a_2 = 0 \tag2$$

Now we can use our two constraints to solve for $a_1$ and $a_2$ in terms of $a_0$.

$$a_1=\frac{5}{2}-2a_0 \\ a_2=a_0-\frac{3}{2}\tag{3}$$

All that's left is to tweak $a_0$ to get a nice fit. Incidentally, $a_0$ (and the slope at the origin) ends up being $\approx\frac{\pi}{2}$, as we can see from a plot of the function.

Parameter optimization

Below are a number of optimizations of the coefficients, which result in these relative amplitudes of the harmonics compared to the fundamental frequency (1st harmonic):

In the complex Fourier series:

$$\sum_{k=-\infty}^\infty c_k e^{i\tfrac{2\pi}{P} kx},$$

of a real $P\text{-}$periodic waveform with $P = 4$ and time symmetry about $x = 1$ and with half a period defined by odd function $f(x)$ over $-1 \le x \le 1,$ the coefficient of the $k\text{th}$ complex exponential harmonic is:

$$c_k = \frac{1}{P}\int_{-1}^{-1+P}\left(\cases{f(x)&if $x < 1$\\-f(x-2)&if $x \ge 1$}\right)e^{-i\tfrac{2\pi}{P}kx}dx.$$

Because of the relationship $2 \cos(x) = e^{ix} + e^{-ix}$ (see: Euler's formula), the amplitude of a real sinusoidal harmonic with $k > 0$ is $2\left|c_k\right|,$ which is twice that of the magnitude of the complex exponential of the same frequency. This can be massaged to a form which makes it easier for some symbolic mathematics software to simplify the integral:

$$2|c_k| = \frac{2}{4}\left|\int_{-1}^{3}\left(\cases{f(x)&if $x < 1$\\-f(x-2)&if $x \ge 1$}\right)e^{-i\tfrac{2\pi}{4}kx}dx\right|\\ = \frac{1}{2}\left|\int_{-1}^{1}f(x)e^{-i\tfrac{\pi}{2}kx}dx - \int_{1}^{3}f(x-2)e^{-i\tfrac{\pi}{2}kx}dx\right|\\ = \frac{1}{2}\left|\int_{-1}^{1}f(x)e^{-i\tfrac{\pi}{2}kx}dx - \int_{-1}^{1}f(x+2-2)e^{-i\tfrac{\pi}{2}k(x+2)}dx\right|\\ = \frac{1}{2}\left|\int_{-1}^{1}f(x)e^{-i\tfrac{\pi}{2}kx}dx - \int_{-1}^{1}f(x)e^{-i\tfrac{\pi}{2}k(x+2)}dx\right|\\ = \frac{1}{2}\left|\int_{-1}^{1}f(x)\left(e^{-i\tfrac{\pi}{2}kx} - e^{-i\tfrac{\pi}{2}k(x+2)}\right)dx\right|\\ = \frac{1}{2}\left|e^{i\tfrac{\pi}{2}x}\int_{-1}^{1}f(x)\left(e^{-i\tfrac{\pi}{2}kx} - e^{-i\tfrac{\pi}{2}k(x+2)}\right)dx\right|\\ = \frac{1}{2}\left|\int_{-1}^{1}f(x)\left(e^{-i\frac{\pi}{2}k(x-1)}-e^{-i\frac{\pi}{2}k(x+1)}\right)dx\right|$$

The above takes advantage of that $|e^{ix}|=1$ for real $x.$ It is easier for some computer algebra systems to simplify the integral by assuming $k$ is real, and to simplify to integer $k$ at the end. Wolfram Alpha can integrate individual terms of the final integral corresponding to the terms of the polynomial $f(x)$. For the coefficients given in Eq. 3 we get amplitude:

$$= \left|\frac{48\left((-1)^k - 1\right)\left(16\,a_0\left(\pi^2 k^2 - 10\right) - 5\times(5\pi^2 k^2 - 48)\right)}{\pi^6k^6}\right|$$

5th order, continuous derivative

We can solve for the value of $a_0$ that gives equal amplitude $2|c_k|$of the 3rd and the 5th harmonic. There will be two solutions corresponding to the 3rd and the 5th harmonic having equal or opposite phases. The best solution is the one that minimizes the maximum amplitude of the 3rd and above harmonics and equivalently the maximum relative amplitude of the 3rd and above harmonics compared to the fundamental frequency (1st harmonic):

$$a_0 = \frac{3\times(132375\pi^2 - 130832)}{16\times(15885\pi^2 - 16354)}\approx 1.569778813,\\ a_1 = \frac{5}{2} - 2a_0 = \frac{79425\pi^2 - 65416}{8\times(-15885\pi^2 + 16354)}\approx -0.6395576276,\\ a_2 = a_0 - \frac{3}{2} = \frac{15885\pi^2}{16\times(15885\pi^2 - 16354)}\approx 0.06977881382.$$

This gives the fundamental frequency at amplitude $\frac{13679616}{15885\pi^6 - 16354\pi^4} \approx 1.000071420$ and both the 3rd and the 5th harmonic at relative amplitude $\frac{1}{8906}$ or about $-78.99\text{ dB}$ compared to the fundamental frequency. A $k\text{th}$ harmonic has relative amplitude $\frac{\left(1 - (-1)^k\right)\left|8177k^2 - 79425\right|}{142496 k^6}.$

7th order, continuous derivative

Likewise, the optimal 7th order polynomial approximation with the same initial constraints and the 3rd, 5th, and 7th harmonic at the lowest possible equal level is:

$$\begin{align} f(x) &= a_0 x^1 + a_1 x^3 + a_2 x^5 + a_3 x^7\\ &= x\big( a_0 + a_1 x^2 + a_2 x^4 + a_3 x^7 \big) \\ &= x\bigg( a_0 + x^2 \Big(a_1 + x^2 \big(a_2 + a_3 x^2 \big) \Big) \bigg) \\ \end{align}$$

$$a_0 = \frac{2a_2 + 4a_3 + 3}{2} \approx 1.570781972,\\ a_1 = -\frac{4a_2 + 6a_3 + 1}{2} \approx -0.6458482979,\\ a_2 = \frac{347960025\pi^4 - 405395408\pi^2}{16\times(281681925 \pi^4 - 405395408 \pi^2 + 108019280)} \approx 0.07935067784,\\ a_3 = - \frac{16569525\pi^4}{16\times(281681925\pi^4 - 405395408\pi^2 + 108019280)} \approx -0.004284352588.$$

This is the best of four possible solutions corresponding to equal/opposite phase combinations of the 3rd, 5th, and 7th harmonic. The fundamental frequency has amplitude $\frac{2293523251200}{281681925\pi^8 - 405395408\pi^6 + 108019280\pi^4} \approx 0.9999983752,$ and the 3rd, 5th, and 7th harmonics have relative amplitude $\frac{1}{1555395} \approx -123.8368\text{ dB}$ compared to the fundamental. A $k\text{th}$ harmonic has relative amplitude $\frac{\left(1 - (-1)^k\right)\left|1350241k^4 - 50674426k^2 + 347960025\right|}{597271680k^8}$ compared to the fundamental.

5th order

If the requirement of a continuous derivative is dropped, the 5th order approximation will be more difficult to solve symbolically, because the amplitude of the 9th harmonic will rise above the amplitude of the 3rd, 5th, and the 7th harmonic if those are constrained to be equal and minimized. Testing 16 different solutions corresponding to different subsets of three harmonics from $\{3, 5, 7, 9\}$ being of equal amplitude and of equal or opposite phases, the best solution is:

$$f(x) = a_0 x^1 + a_1 x^3 + a_2 x^5\\ a_0 = 1 - a_1 - a_2 \approx 1.570034357\\ a_1 = \frac{3\times(2436304\pi^2 - 2172825\pi^4)}{8\times(1303695\pi^4 - 1827228\pi^2 + 537160)} \approx -0.6425216143\\ a_2 = \frac{1303695\pi^4}{16\times(1303695\pi^4 - 1827228\pi^2 + 537160)} \approx 0.07248725712$$

The fundamental frequency has amplitude $\frac{1080430592}{1303695\pi^6 - 1827228\pi^4 + 537160\pi^2} \approx 0.9997773320.$ The 3rd, 5th, and 9th harmonics have relative amplitude $\frac{7}{263777} \approx -91.52\text{ dB},$ and the 7th harmonic has relative amplitude $\frac{726083}{31033100273} \approx -92.6\text{ dB}$ compared to the fundamental. A $k\text{th}$ harmonic has relative amplitude $\frac{\left(1 - (-1)^k\right)\left|67145k^4 - 2740842k^2 + 19555425\right|}{33763456k^6}.$

This approximation has a slight corner at the half-cycle boundaries, because the polynomial has zero derivative not at $x = \pm 1$ but at $x \approx \pm 1.002039940.$ At $x = 1$ the value of the derivative is about $0.004905799828$. This results in slower asymptotic decay of the amplitudes of the harmonics at large $k,$ compared to the 5th order approximation that has a continuous derivative.

7th order

A 7th order approximation without continuous derivative can be found similarly. The approach requires testing 120 different solutions and was automated by the Python script at the end of this answer. The best solution is:

$$f(x) = a_0 x^1 + a_1 x^3 + a_2 x^5 + a_3 x^7\\ a_0 = 1 - a_1 - a_2 - a_3 \approx 1.5707953785726114835\\ a_1 = - \frac{5\times(4374085272375\pi^6 - 6856418226992\pi^4 + 2139059216768\pi^2)}{16\times(2124555703725\pi^6 - 3428209113496\pi^4 + 1336912010480\pi^2 - 155807094720)} \approx -0.64590724797262922190\\ a_2 = \frac{2624451163425\pi^6 - 3428209113496\pi^4}{16\times(2124555703725\pi^6 - 3428209113496\pi^4 + 1336912010480\pi^2 - 155807094720)} \approx 0.079473610232926783079\\ a_3 = -\frac{124973864925\pi^6}{16\times(2124555703725\pi^6 - 3428209113496\pi^4 + 1336912010480\pi^2 - 155807094720)} \approx -0.0043617408329090447344$$

The fundamental frequency has amplitude $\frac{16991801282396160}{2124555703725\pi^8 - 3428209113496\pi^6 + 1336912010480\pi^4 - 155807094720\pi^2} \approx 1.0000024810802368487.$ The largest relative amplitude of the harmonics above the fundamental is $\frac{50}{2400688077}\approx -133.627\text{ dB}.$ compared to the fundamental. A $k\text{th}$ harmonic has relative amplitude $\frac{\left(1 - (-1)^k\right)\left|-162299057k^6 + 16711400131k^4 - 428526139187*k^2 + 2624451163425\right|}{4424948250624k^8}.$

Python source

from sympy import symbols, pi, solve, factor, binomial

numEq = 3 # Number of equations
numHarmonics = 6 # Number of harmonics to evaluate

a1, a2, a3, k = symbols("a1, a2, a3, k")
coefficients = [a1, a2, a3]
harmonicRelativeAmplitude = (2*pi**4*a1*k**4*(pi**2*k**2-12)+4*pi**2*a2*k**2*(pi**4*k**4-60*pi**2*k**2+480)+6*a3*(pi**6*k**6-140*pi**4*k**4+6720*pi**2*k**2-53760)+pi**6*k**6)*(1-(-1)**k)/(2*k**8*(2*pi**4*a1*(pi**2-12)+4*pi**2*a2*(pi**4-60*pi**2+480)+6*a3*(pi**6-140*pi**4+6720*pi**2-53760)+pi**6))

harmonicRelativeAmplitudes = []
for i in range(0, numHarmonics) :
    harmonicRelativeAmplitudes.append(harmonicRelativeAmplitude.subs(k, 3 + 2*i))

numCandidateEqs = 2**numHarmonics
numSignCombinations = 2**numEq
useHarmonics = range(numEq + 1)

bestSolution = []
bestRelativeAmplitude = 1
bestUnevaluatedRelativeAmplitude = 1
numSolutions = binomial(numHarmonics, numEq + 1)*2**numEq
solutionIndex = 0

for i in range(0, numCandidateEqs) :
    temp = i
    candidateNumHarmonics = 0
    j = 0
    while (temp) :
        if (temp & 1) :
            if candidateNumHarmonics < numEq + 1 :
                useHarmonics[candidateNumHarmonics] = j
            candidateNumHarmonics += 1
        temp >>= 1
        j += 1
    if (candidateNumHarmonics == numEq + 1) :
        for j in range(0,  numSignCombinations) :
            eqs = []
            temp = j
            for n in range(0, numEq) :
                if temp & 1 :
                    eqs.append(harmonicRelativeAmplitudes[useHarmonics[0]] - harmonicRelativeAmplitudes[useHarmonics[1+n]])
                else :
                    eqs.append(harmonicRelativeAmplitudes[useHarmonics[0]] + harmonicRelativeAmplitudes[useHarmonics[1+n]])
                temp >>= 1
            solution = solve(eqs, coefficients, manual=True)
            solutionIndex += 1
            print "Candidate solution %d of %d" % (solutionIndex, numSolutions)
            print solution
            solutionRelativeAmplitude = harmonicRelativeAmplitude
            for n in range(0, numEq) :                
                solutionRelativeAmplitude = solutionRelativeAmplitude.subs(coefficients[n], solution[0][n])
            solutionRelativeAmplitude = factor(solutionRelativeAmplitude)
            print solutionRelativeAmplitude
            solutionWorstRelativeAmplitude = 0
            for n in range(0, numHarmonics) :
                solutionEvaluatedRelativeAmplitude = abs(factor(solutionRelativeAmplitude.subs(k, 3 + 2*n)))
                if (solutionEvaluatedRelativeAmplitude > solutionWorstRelativeAmplitude) :
                    solutionWorstRelativeAmplitude = solutionEvaluatedRelativeAmplitude
            print solutionWorstRelativeAmplitude
            if (solutionWorstRelativeAmplitude < bestRelativeAmplitude) :
                bestRelativeAmplitude = solutionWorstRelativeAmplitude
                bestUnevaluatedRelativeAmplitude = solutionRelativeAmplitude                
                bestSolution = solution
                print "That is a new best solution!"
            print

print "Best Solution is:"
print bestSolution
print bestUnevaluatedRelativeAmplitude
print bestRelativeAmplitude

Вы спрашиваете об этом по теоретическим причинам или для практического применения?

Обычно, когда у вас есть дорогая для вычисления функция в ограниченном диапазоне, лучшим ответом является набор справочных таблиц.

Один из подходов состоит в том, чтобы использовать наиболее подходящие параболы:

n = этаж (x * N + .5);

d = x * N - n;

i = n + N / 2;

y = L_0 + L_1 [i] * d + L_2 [i] * d * d;

Найдя параболу в каждой точке, которая соответствует значениям d, равным -1/2, 0 и 1/2, вместо использования производных в 0, вы обеспечите непрерывную аппроксимацию. Вы также можете сместить значение x вместо индекса массива, чтобы справиться с отрицательными значениями x.

CED

=================================================

Следовать за:

Количество усилий и результаты, которые пошли на поиск хороших приближений, очень впечатляют. Мне было любопытно, как мое скучное и мягкое кусочно-параболическое решение будет сравниваться. Не удивительно, что это намного лучше. Вот результаты:

   Метод Минимальное Максимальное Среднее СКО
  -------- -------- -------- -------- --------
     Мощность -8.48842 1.99861 -4.19436 5.27002
    ОП S_3 -2,14675 0,00000 -1,20299 1,40854
     Bhask -1,34370 1,63176 -0,14367 0,97353
     Коэффициент -0,24337 0,22770 -0,00085 0,16244
     rbj 5 -0,06724 0,15519 -0,00672 0,04195
    Olli5C -0,16367 0,20212 0,01003 0,12668
     Olli5 -0,26698 0,00000 -0,15177 0,16402
    Olli7C -0,00213 0,00000 -0,00129 0,00143
     Olli7 -0,00005 0,00328 0,00149 0,00181
    Para16 -0,00921 0,00916 -0,00017 0,00467
    Para32 -0,00104 0,00104 -0,00001 0,00053
    Para64 -0,00012 0,00012 -0,00000 0,00006

Значения представляют 1000-кратную ошибку между аппроксимацией и фактической оценкой каждые 0,0001 по шкале от 0 до 1 (включительно), таким образом, всего 10001 балл. Шкала преобразуется для оценки функций от 0 до$\pi/2$за исключением уравнений Олли Нимитало, которые используют шкалу от 0 до 1. Значения столбцов должны быть понятны из заголовков. Результаты не меняются с интервалом 0,001.

Линия «Power» - это уравнение: $x-\frac{x^e}{6}$,

Линия rbj 5 совпадает с решением Мэтта Л с5.

16, 32 и 64 - это количество интервалов, которые имеют параболические припадки. Конечно, существуют незначительные разрывы в первой производной на каждой границе интервала. Значения функции непрерывны, хотя. Увеличение количества интервалов только увеличивает требования к памяти (и время инициализации), но не увеличивает объем вычислений, необходимых для аппроксимации, который меньше, чем у любого другого уравнения. Я выбрал степень двойки, потому что реализация с фиксированной запятой может спасти деление с помощью AND в таких случаях. Кроме того, я не хотел, чтобы количество было соизмеримо с пробной выборкой.

Я запустил программу Python Олли Нимитало и получил ее как часть распечатки: «Кандидатское решение 176 из 120». Я подумал, что это странно, поэтому я упоминаю об этом.

Если кто-то хочет, чтобы я включил любое другое уравнение, пожалуйста, дайте мне знать в комментариях.

Вот код для кусочно-параболических приближений. Вся тестовая программа слишком длинна для публикации.

# ================================================= ============================
def FillParab (argArray, argPieceCount):

# y = ad ^ 2 + bd + c

# ym = a .25 - b .5 + c
# y = c
# yp = a .25 + b .5 + c

# c = y
# b = yp - ym
# a = (yp + ym - 2y) * 2

# ---- Рассчитать массивы поиска

        theStep = pi * .5 / float (argPieceCount - 1)
        theHalf = theStep * .5

        theL0 = нули (argPieceCount)
        theL1 = нули (argPieceCount)
        theL2 = нули (argPieceCount)

        для k в диапазоне (0, argPieceCount):
         x = float (k) * theStep

         ym = грех (x - theHalf)
         у = грех (х)
         yp = грех (x + theHalf)

         theL0 [k] = y
         theL1 [k] = yp - ym
         theL2 [k] = (yp + ym - 2.0 * y) * 2

# ---- сделать заполнить

        theN = len (argArray)

        theFactor = pi * .5 / float (theN - 1)

        для я в диапазоне (0, theN):
         x = float (i) * theFactor

         kx = x / theStep
         k = int (kx + .5)
         d = kx - k

         argArray [i] = theL0 [k] + (theL1 [k] + theL2 [k] * d) * d

# ================================================= ============================

=======================================

Appendum

Я включил Гость $S_3$функция из исходного поста как "OP S_3" и формула двух параметров Гостя из комментариев как "Соотношение". Оба по шкале от 0 до 1. Я не думаю, что Ratio подходит для расчетов во время выполнения или для построения справочной таблицы. В конце концов, это значительно больше вычислений для процессора, чем просто вызов sin (). Это математически интересно, хотя.