Каково физическое значение отрицательных частот?

83

Это была одна из дыр в моем блоке понимания сыра чеддер для понимания DSP, так какова физическая интерпретация наличия отрицательной частоты?

Если у вас есть физический тонус на некоторой частоте, и это DFT'd, вы получите результат как на положительной, так и на отрицательной частотах - почему и как это происходит? Что это значит?

Редактировать: 18 октября 2011 года. Я предоставил свой собственный ответ, но расширил вопрос, включив в него корни того, почему ДОЛЖНЫ существовать отрицательные частоты.

frequency

— ошалевший
источник

1

electronics.stackexchange.com/questions/15539/…

— эндолит

Спасибо, endolith, можно ли будет связать ссылку на эту страницу с ними? Я дал ответ на свой вопрос и хотел бы поделиться им с этой группой. Кажется, у меня нет доступа к этой области ...

— Спейс

Прочитав все физические значения отрицательных частот, я запутался. Я химик. Я имею дело с молекулами. Частоты негативов указывают на нестабильность в молекулах или, другими словами, на седловые точки на поверхности потенциальной энергии. У стабильной молекулы не должно быть мнимых частот, у переходного состояния должна быть одна (седловая точка 1-го порядка). Почему не стабильная молекула должна иметь отрицательные частоты (мнимые частоты), ведь она дополняет реальную частоту.

— Прабин Рай

2

@PrabinRai отрицательные частоты и мнимые частоты очень разные. Мнимая частота превращает осциллирующую ограниченную комплексную экспоненту в экспоненциально возрастающую (или убывающую) обыкновенную экспоненту. Отрицательная частота, как показывают ответы ниже, относится к «управляемости» колебаний. Это все еще ограниченные функции, поэтому я думаю, что они все еще будут «стабильными».

— Проктор ТК

106

Отрицательная частота не имеет большого смысла для синусоид, но преобразование Фурье не разбивает сигнал на синусоиды, оно разбивает его на сложные экспоненты (также называемые «сложные синусоиды» или « цизоиды s»):

F (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- j ω t} d t

$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \color{Red}{e^{- j\omega t}}\,dt$

Это на самом деле спирали, вращающиеся в сложной плоскости:

сложная экспоненциальная демонстрация времени, действительных и мнимых осей

( Источник: Ричард Лайонс )

Спирали могут быть как левосторонними, так и правосторонними (вращающимися по часовой стрелке или против часовой стрелки), отсюда и возникает понятие отрицательной частоты. Вы также можете думать об этом как о фазовом угле, идущем вперед или назад во времени.

В случае реальных сигналов всегда есть две комплексные экспоненты равной амплитуды, вращающиеся в противоположных направлениях, так что их реальные части объединяются, а мнимые части компенсируются, оставляя в результате только настоящую синусоиду. Вот почему спектр синусоидальной волны всегда имеет 2 пика, один положительный и один отрицательный. В зависимости от фазы двух спиралей они могут подавляться, оставляя чисто реальную синусоидальную волну, или реальную косинусоидальную волну, или чисто воображаемую синусоидальную волну и т. Д.

Отрицательные и положительные частотные составляющие являются как необходимо , чтобы произвести реальный сигнал, но если вы уже знаете , что это реальный сигнал, с другой стороны спектра не дает никакой дополнительной информации, поэтому она часто вручную махал и игнорируются. Для общего случая сложных сигналов вам необходимо знать обе стороны частотного спектра.

— эндолиты
источник

6

Мне нравится это описание; Я думаю, что диаграмма хорошо это объясняет.

— Джейсон Р

1

@endolith Хороший пост - я видел это из книги Лиона между прочим. Мне кажется, что фактическая «начальная» точка для всех колебаний находится в сложной области, и что так получилось, что мы можем измерять только реальные колебания, которые происходят на реальной оси. Поэтому, когда измеряется физическая волна, она переносится НАЗАД в сложную область, где мы видим ее компоненты по часовой стрелке и против часовой стрелки. Что забавно, потому что «настоящие» сигналы оказываются «вдвое сложнее», чем сложные сигналы ...

— Спейси

@ Мохаммед: я не знаю, что сложные экспоненты являются более «фундаментальными», чем синусоиды в целом, хотя они имеют место в случае преобразования Фурье. Вы можете создавать сложные экспоненты, добавляя синусоиды, и синусоиды, добавляя сложные экспоненты. Они все просто функции. Синусоиды, как правило, получаются из кругов, которые могут быть чем-то в сложной плоскости или могут быть просто высотой точки на вращающемся колесе.

— эндолит

@ Endolith Верно. Я подробно остановился на этом в своем посте. В любом случае отличный пост (и спасибо за перекрестную ссылку). Имейте upvote! :-)

— Спейси

2

@Goldname Кисоиды с положительной и отрицательной частотой складываются вместе. Действительные части находятся в фазе и суммируются вместе, мнимые части имеют противоположную полярность, и отменяются

— эндолит

37

Допустим, у вас было вращающееся колесо. Как бы вы описали, как быстро он вращается? Вы, вероятно, сказали бы, что он вращается со скоростью Xоборотов в минуту (об / мин). Теперь, как вы передаете, в каком направлении он вращается с этим номером? Это тот же Xоборот, если он вращается по часовой стрелке или против часовой стрелки. Итак, вы почесываете голову и говорите: «Хорошо, вот умная идея: я буду использовать соглашение, +Xчтобы указать, что оно вращается по часовой стрелке и -Xпротив часовой стрелки. Вуаля! Вы изобрели отрицательные обороты!

Отрицательная частота ничем не отличается от приведенного выше простого примера. Простое математическое объяснение того, как всплывает отрицательная частота, можно увидеть из преобразований Фурье чистых тонов синусоид.

Рассмотрим пару преобразования Фурье комплексной синусоиды: (игнорируя члены с постоянным множителем). Для чистой синусоиды (реальной) мы имеем из соотношения Эйлера: $e^{\jmath \omega_0 t}\longleftrightarrow \delta(\omega+\omega_0)$

\cos (ω_{0} t) = \frac{e^{ȷ ω_{0} t} + e^{- ȷ ω_{0} t}}{2}

$\cos(\omega_0 t)=\frac{e^{\jmath \omega_0t}+e^{-\jmath \omega_0 t}}{2}$

и, следовательно, его пара преобразования Фурье (опять же, игнорируя постоянные множители):

\cos (ω_{0} t) ⟷ δ (ω + ω_{0}) + δ (ω - ω_{0})

$\cos(\omega_0 t)\longleftrightarrow \delta(\omega+\omega_0) + \delta(\omega-\omega_0)$

Вы можете видеть, что он имеет две частоты: положительную в и отрицательную в по определению! Сложная синусоида широко используется, потому что она невероятно полезна для упрощения наших математических вычислений. Однако у него только одна частота, а у настоящей синусоиды фактически две. $\omega_0$ $-\omega_0$ $ae^{\jmath \omega_0 t}$

— Лорем Ипсум
источник

3

спасибо за ответ - я понимаю математику - и это кое-что из базового, что я знаю, но оно не дает нам информации о физическом значении ... Хотя, продолжая ваш пример вращения - хорошо, так что знак частоты передает направление изменения фазы. Справедливо, но все же, почему синусоида имеет «две» частоты, одну положительную и одну отрицательную? Это потому, что преобразование Фурье является «независимым от времени», и поэтому вы можете посмотреть на настоящую синусоиду в реальном направлении времени, получить свое + ve, и посмотреть на ту же волну назад во времени и получить свое -ve? Благодарю.

— Спейс

10

Я не уверен, что есть конкретный ответ на вашу путаницу. Содержимое на отрицательных частотах является следствием определения преобразования Фурье и не имеет прямого физического значения. Преобразование Фурье по своей природе не является «физической» операцией, поэтому не обязано. Частота синусоиды является производной по времени от фазы, не более того. Отрицательные частоты - это просто математический артефакт, от которого некоторые люди зацикливаются, подобно использованию «мнимых» частей комплексных чисел. Это инструменты анализа, используемые для моделирования, которые необязательно существуют в физическом мире.

— Джейсон Р

3

@ Мохаммед, я согласен с Джейсоном. В какой-то момент попытка построить «физическое» объяснение ради него может только усугубить ситуацию. Я не уверен, что могу объяснить лучше ...

— Lorem Ipsum

4

Возможное объяснение состоит в том, что с точки зрения преобразования Фурье настоящая синусоида является «действительно» суммой двух сложных синусоид, вращающихся в противоположных направлениях. Используя аналогию с колесом: изобразите два колеса в начале системы координат, вращающихся с одинаковой скоростью, но в противоположных направлениях, со шпилькой на каждом, начинающейся с (1,0). Теперь добавьте координаты обоих выводов: у всегда будет 0, а х будет настоящей синусоидой.

— Себастьян Райхельт

2

@Mohammad Что воображаемые числа представляют для вас в физическом смысле?

— Lorem Ipsum

15

В настоящее время моя точка зрения (она может быть изменена) заключается в следующем

Для синусоидального повторения имеет смысл только положительные частоты. Физическая интерпретация ясна. Для сложного экспоненциального повторения имеет смысл как положительная, так и отрицательная частоты. Может быть возможно приложить физическую интерпретацию к отрицательной частоте. Эта физическая интерпретация отрицательной частоты связана с направлением повторения.

Определение частоты, приведенное в вики: «Частота - это количество повторений события в единицу времени».

Если придерживаться этого определения, отрицательная частота не имеет смысла и поэтому не имеет физической интерпретации. Однако это определение частоты не является исчерпывающим для сложного экспоненциального повторения, которое также может иметь направление.

Отрицательные частоты все время используются при анализе сигналов или систем. Основной причиной этого является формула Эйлера и тот факт, что сложные экспоненты являются собственными функциями систем LTI.

e^{j ω n} = \cos (ω n) + j \sin (ω n)

$e^{j\omega n} = \cos( \omega n) + j\, \sin(\omega n)$

Синусоидальное повторение обычно представляет интерес, и сложное экспоненциальное повторение часто используется для косвенного получения синусоидального повторения. То, что оба они связаны, можно легко увидеть, рассмотрев представление Фурье, написанное с использованием комплексных экспонент, например,

x [n] = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} d ω X (e^{j ω}) e^{j ω n}

$x[n]= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}\!\!\!d\omega \;\;\;\;X(e^{j\omega}) e^{j\omega n}$

Однако это эквивалентно

x [n] = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{π} d ω [a (ω) \cos (ω n) + b (ω) \sin (ω n)] = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{π} d ω α (ω) \sin (ω n + ϕ (ω))]

$x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\pi}\!\!d\omega \;\;[a(\omega) \cos(\omega n) + b(\omega) \sin(\omega n)] = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\pi}\!\!d\omega \;\; \alpha(\omega) \sin(\omega n + \phi(\omega))]$

Поэтому вместо рассмотрения положительной «оси синусоидальной частоты» рассматривается отрицательная и положительная «комплексная ось экспоненциальной частоты». Что касается «оси комплексной экспоненциальной частоты», то для реальных сигналов хорошо известно, что отрицательная частотная часть является избыточной, и рассматривается только положительная «комплексная ось экспоненциальной частоты». Делая этот шаг неявно, мы знаем, что ось частот представляет сложное экспоненциальное повторение, а не синусоидальное повторение.

Комплексное экспоненциальное повторение представляет собой круговое вращение в комплексной плоскости. Чтобы создать синусоидальное повторение, требуется два сложных экспоненциальных повторения, одно повторение по часовой стрелке и одно повторение против часовой стрелки. Если сконструировано физическое устройство, которое производит синусоидальное повторение, вдохновленное тем, как синусоидальное повторение создается в комплексной плоскости, то есть с помощью двух физически вращающихся устройств, которые вращаются в противоположных направлениях, можно сказать, что одно из вращающихся устройств имеет отрицательное частота и, следовательно, отрицательная частота имеет физическую интерпретацию.

— niaren
источник

Мне нравится ваше объяснение ... медленно картина появляется, смотрите мой ответ / редактировать на вопрос.

— Спейси

9

Во многих распространенных приложениях отрицательные частоты вообще не имеют прямого физического значения. Рассмотрим случай, когда в некоторой электрической цепи есть входное и выходное напряжение с резисторами, конденсаторами и индукторами. Просто существует реальное входное напряжение с одной частотой, и есть одно выходное напряжение с той же частотой, но разной амплитудой и фазой.

ЕДИНСТВЕННАЯ причина, по которой вы бы рассматривали сложные сигналы, сложные преобразования Фурье и математическую формулу в этой точке, это математическое удобство. Вы могли бы сделать это точно так же, как с настоящей математикой, это было бы намного сложнее.

Существуют различные типы частотно-временных преобразований. Преобразование Фурье использует сложную экспоненту в качестве своей базовой функции и применяется к одной действительной синусоидальной волне, которая дает двухзначные результаты, которые интерпретируются как положительная и отрицательная частота. Существуют и другие преобразования (например, дискретное косинусное преобразование), которые вообще не создают отрицательных частот. Опять же, это вопрос математического удобства; Преобразование Фурье часто является самым быстрым и наиболее эффективным способом решения конкретной проблемы.

— Hilmar
источник

Я согласен, конечно, намного сложнее работать в сложной области - проблема возникает, потому что некоторые люди утверждают, что нет никакого физического значения для отрицательных частот, но каким-то образом они обладают энергией в частотной области. Ну, а если их нет «на самом деле», тогда где эта энергия?

— Спейс

3

Вам следует изучить преобразование или ряд Фурье, чтобы понять отрицательную частоту. Действительно, Фурье показал, что мы можем показать все волны, используя некоторые синусоиды. Каждая синусоида может быть показана с двумя пиками на частоте этой волны, один в положительной стороне и один в отрицательной. Так что теоретическая причина ясна. Но по физической причине я всегда вижу, что люди говорят, что отрицательная частота имеет только математическое значение. Но я предполагаю физическую интерпретацию, в которой я не совсем уверен; Когда вы изучаете круговое движение в качестве основы дискуссий о волнах, направление скорости движения на полукруге противоположно другой половине. Это может быть причиной того, что у нас есть два пика в обеих сторонах частотной области для каждой синусоиды.

— Хоссейн
источник

Хоссейн, да, я согласен, что какое-то время это путало. Я жду от Йоды его отзывов, но если это просто признак производной фазы, то я вижу лингвистическую проблему - возможно, источник путаницы со многими другими людьми, с которыми я говорил об этом. Физический смысл «частоты» - это «скорость колебаний» чего-либо, значение должно быть положительным. Здесь я думаю, что определения отличаются от физики.

— Спейс

Пожалуйста, посмотрите на страницу en.wikipedia.org/wiki/Circular_motion; и так что f и w имеют прямую связь. В каждой волне направление скорости изменяется, чтобы иметь полное колебание. Мы всегда должны позаботиться о том, чтобы реальной волне требовалось две ставки, чтобы быть полной. На практике, когда вы работаете с анализатором спектра, вы просто положительная часть, потому что этого достаточно. Отрицательная часть весьма значима, потому что в случае сдвига вы можете увидеть эту отрицательную часть на анализаторе спектра, который показывает только положительные части.

w = 2 * π / T

$w=2∗π/T$

f = 1 / T

$f=1/T$

— Хоссейн

1

В чем смысл отрицательного расстояния? Одна возможность состоит в том, что это для непрерывности, поэтому вам не нужно переворачивать планету Земля вверх ногами каждый раз, когда вы идете по экватору, и хотите построить свое положение на север с непрерывной 1-й производной.

То же самое с частотой, когда можно делать такие вещи, как FM-модуляция с модуляцией, более широкой, чем несущая частота. Как бы вы подготовили это?

— hotpaw2
источник

Смотрите мой новый ответ / отредактируйте вопрос

— Spacey

1

Простой способ осмыслить проблему - представить стоячую волну. Стоячая волна (во временной области) может быть представлена как сумма двух противоположно движущихся волн (в частотной области с положительным и отрицательным k-вектором или + w и -w, что эквивалентно). Здесь приходит ответ о том, почему у вас есть два частотных компонента в БПФ. БПФ - это, по сути, сумма (свертка) многих таких противоположно бегущих волн, которые представляют вашу функцию во временной области.

— user3320933
источник

-3

Раньше, чтобы получить правильный ответ для власти, вы должны были удвоить ответ. Но если вы интегрируете от минус бесконечности до плюс бесконечности, вы получите правильный ответ без произвольного двойника. Поэтому они сказали, что должны быть отрицательные частоты. Но никто так и не нашел их. Поэтому они являются воображаемыми или, по крайней мере, с физической точки зрения необъяснимыми.

— Дуг Барр
источник

-4

Это оказалось довольно горячей темой.

После прочтения множества хороших и разнообразных мнений и интерпретаций и позволения этой проблеме некоторое время кипеть в моей голове, я полагаю, что у меня есть физическая интерпретация феномена отрицательных частот. И я считаю, что ключевая интерпретация здесь заключается в том, что Фурье не видит времени. Подробно об этом далее:

Было много разговоров о «направлении» частоты и, следовательно, о том, как она может быть + ve или -ve. Хотя всеобъемлющие идеи авторов, утверждающих, что это не потеряно, это утверждение, тем не менее, несовместимо с определением временной частоты, поэтому сначала мы должны очень тщательно определить наши термины. Например:

Расстояние - это скаляр (может быть только + ve), а смещение - вектор. (т.е. имеет направление, может быть + ve или -ve для иллюстрации заголовка).
Скорость - это скаляр (может быть только + ve), а скорость - вектор. (то есть, опять же, имеет направление, и может быть + ve или -ve).

Таким образом, по тем же признакам,

Временная частота является скаляром, (может быть только + ve)! Частота определяется как количество циклов в единицу времени. Если это общепринятое определение, мы не можем просто утверждать, что оно движется «в другом направлении». Это скаляр в конце концов. Вместо этого мы должны определить новый термин - векторный эквивалент частоты. Возможно, «угловая частота» будет правильной терминологией, и именно это измеряет цифровая частота.

Теперь мы внезапно находимся в процессе измерения количества вращений в единицу времени (векторная величина, которая может иметь направление), а VS - просто количество повторений некоторого физического колебания.

Таким образом, когда мы спрашиваем о физической интерпретации отрицательных частот, мы также неявно задаем вопрос о том, как скалярные и очень реальные меры количества колебаний в единицу времени какого-либо физического явления, такого как волны на пляже, синусоидального переменного тока по проводу, сопоставьте эту угловую частоту, которая теперь внезапно имеет направление, по часовой стрелке или против часовой стрелки.

Отсюда, чтобы прийти к физической интерпретации отрицательных частот, необходимо учитывать два факта. Первый состоит в том, что, как указал Фурье, колебательный реальный тон с скалярной временной частотой f можно построить, сложив два колебательных комплексных тона с векторными угловыми частотами + w и -w .

\cos (ω_{0} t) = \frac{e^{ȷ ω_{0} t} + e^{- ȷ ω_{0} t}}{2}

$\cos(\omega_0 t)=\frac{e^{\jmath \omega_0t}+e^{-\jmath \omega_0 t}}{2}$

Это здорово, но что с того? Ну, сложные тоны вращаются в направлениях, противоположных друг другу. (См. Также комментарий Себастьяна). Но каково значение «направлений», которые придают нашим угловым частотам их векторный статус? Какая физическая величина отражается в направлении вращения? Ответ - время. В первом сложном тоне время движется в направлении + ve, а во втором сложном тоне время движется в направлении -ve. Время идет назад.

Учитывая это и быстро отвлекаясь, чтобы вспомнить, что временная частота является первой производной фазы по времени (просто изменение фазы во времени), все начинает становиться на свои места:

Физическая интерпретация отрицательных частот заключается в следующем:

Моим первым осознанием было то, что Фурье не зависит от времени . То есть, если вы думаете об этом, в анализе Фурье или в самом преобразовании нет ничего, что могло бы сказать вам, каково «направление» времени. Теперь представьте себе физически колеблющуюся систему (то есть настоящую синусоиду, скажем, ток по проводу), которая колеблется с некоторой скалярной временной частотой, f .

Представьте себе, «смотрящим» вниз на эту волну в прямом направлении времени по мере ее продвижения. Теперь представьте себе, как рассчитывается разница в фазе в каждый момент времени, когда вы прогрессируете дальше. Это даст вам вашу скалярную временную частоту, и ваша частота будет положительной. Все идет нормально.

Но подождите минуту - если Фурье не видит времени, то почему он должен рассматривать вашу волну только в «прямом» направлении времени? В этом направлении нет ничего особенного во времени. Таким образом, по симметрии необходимо учитывать и другое направление времени. Итак, теперь представьте, что вы «смотрите» на ту же волну (т.е. назад во времени), а также выполняете тот же расчет дельта-фазы. Поскольку время движется в обратном направлении, а ваша частота является изменением фазы / (отрицательное время), ваша частота теперь будет отрицательной!

Что Фурье действительно говорит, так это то, что этот сигнал имеет энергию, если воспроизводится вперед во времени на частотном интервале f, но также имеет энергию, если воспроизводится назад во времени, хотя и на частотном интервале -f. В некотором смысле это ДОЛЖНО сказать это, потому что у Фурье нет способа «узнать», каково «истинное» направление времени!

Итак, как Фурье захватывает это? Ну, чтобы показать направление времени, вращение должно бытьиспользовать так, чтобы вращение по часовой стрелке означало «смотреть» на сигнал в стрелке времени вперед, а вращение против часовой стрелки означало «смотреть» на сигнал, как если бы время шло назад. Скалярная временная частота, с которой мы все знакомы, должна теперь быть равна (масштабированной) абсолютной величине нашей векторной угловой частоты. Но как точка, обозначающая смещение синусоидальной волны, может достигнуть своей начальной точки после одного цикла, но одновременно вращаться вокруг круга и поддерживать проявление временной частоты, которую она обозначает? Только если главные оси этого круга составлены из измерения смещения этой точки относительно исходной синусоиды и отклонения синусоиды на 90 градусов. (Именно так Фурье получает синус и косинус, на основании которых вы проектируете каждый раз, когда выполняете ДПФ!). И, наконец, как мы держим эти оси отдельно? 'J' гарантирует, что величина на каждой оси всегда не зависит от величины на другой, поскольку действительные и мнимые числа не могут быть добавлены для получения нового числа в любой области. (Но это только примечание).

Итак, в итоге:

Преобразование Фурье не зависит от времени. Это не может сказать направление времени. Это в основе отрицательных частот. Поскольку частота = изменение фазы / время, каждый раз, когда вы принимаете ДПФ сигнала, Фурье говорит, что если время идет вперед, ваша энергия находится на оси частоты + ve, но если ваше время движется назад, ваша энергия расположен на оси частот -ve.

Как показала наша вселенная ранее , именно потому, что Фурье не знает направления времени, обе стороны ДПФ должны быть симметричными, и поэтому существование отрицательных частот необходимо и действительно очень реально.

— ошалевший
источник

1

Я думаю, что вы слишком много читаете об этом, пытаясь оправдать ответ, который вы уже определили. Корни «отрицательных» частот были указаны в других ответах. Преобразование Фурье использует сложные экспоненты в качестве своих базовых функций. Их сложный характер позволяет различать знак частоты экспоненты по мере увеличения времени. Комплексные экспоненты представляют интерес, поскольку они являются собственными функциями линейных инвариантных по времени систем. Это делает FT очень полезным в качестве инструмента анализа сигналов и систем.

— Джейсон Р

4

Отрицательные частоты, которые существуют в комплексном экспоненциальном разложении сигналов, являются частью пакета, который идет вместе с использованием преобразования Фурье. Нет необходимости придумывать сложное, качественное объяснение того, что они должны значить.

— Джейсон Р

1

Кроме того, я думаю, что ваша первая пуля может быть ошибкой; Я всегда слышал, что расстояние называется скаляром, а смещение - векторная величина.

— Джейсон Р

1

Кроме того, в дополнение к тому, что сказал Джейсон, я действительно не вижу «физического» аспекта в этом ответе, который, как вы сказали, отсутствовал во всех остальных ...

— Lorem Ipsum

@JasonR Я знаю, что мое сообщение длинное, но, пожалуйста , постарайтесь прочитать мое сообщение (полностью), прежде чем комментировать его в будущем. Когда вы это сделаете, вы увидите, что это не сложно, но прекрасно вписывается в то, что мы знаем до сих пор. Вы увидите , как мое объяснение на самом деле получено и построено из всех предыдущих ответов и мои исследований в литературу.

— Спейси