Почему этот шаблон муара выглядит так?

Я делал несколько картинок превращений Мёбиуса в Matlab, и начали появляться странные шаблоны. Я не уверен, что для понимания этого феномена необходимы более глубокие знания о типе файла / алгоритме, но я подумал, что может быть чисто математическое объяснение. Изображение получается путем окрашивания комплексной плоскости как шахматной доски, а затем инвертирования ее путем взятия обратной величины комплексного сопряжения. Вот математический псевдокод для изображения с заданным увеличением : $k$

\begin{aligned} checkerboard : C \to {black, white} \\ checkerboard (z) := {\begin{cases} black & if ⌊ ℑ (z) ⌋ + ⌊ ℜ (z) ⌋ \equiv 0 \mod 2 \\ white & if ⌊ ℑ (z) ⌋ + ⌊ ℜ (z) ⌋ \equiv 1 \mod 2 \end{cases} \\ image = {z \in C : | ℜ (z) |, | ℑ (z) | \leq 1} \\ color : image \to {black, white} \\ color (z) := checkerboard (k / \bar{z}) \end{aligned}

$\begin{align} &\mbox{checkerboard}:\mathbb C \to\{\mbox{black},\mbox{white}\}\\ &\mbox{checkerboard}(z):=\begin{cases} \mbox{black} & \mbox{if }\lfloor\Im(z)\rfloor+\lfloor\Re(z)\rfloor\equiv 0\mod 2\\ \mbox{white} & \mbox{if }\lfloor\Im(z)\rfloor+\lfloor\Re(z)\rfloor\equiv 1\mod 2 \end{cases}\\ &\mbox{image} = \{z\in\mathbb C:|\Re(z)|,|\Im(z)|\leq 1\}\\ &\mbox{color}:\mbox{image}\to\{\mbox{black},\mbox{white}\}\\ &\mbox{color}(z):=\mbox{checkerboard}(k/\overline{z}) \end{align}$

А вот и картинки для $k=1$ , $k=50$ и $k=200$ . Разрешение каждой картинки $1000\times 1000$ . У меня нет опыта в обработке сигналов, но я бы хотел научиться чему-то!

РЕДАКТИРОВАТЬ:

В частности, почему шаблон муара «синхронизируется» с разрешением изображения в определенных точках?
Можно ли предсказать картину муара?

image-processing aliasing pattern

— BH
источник

То, что вы видите, это алиасинг. Вы пытаетесь изобразить изображение с более высокими частотными компонентами, чем позволяет ваш монитор, поэтому вы получаете псевдонимы. ru.wikipedia.org/wiki/Moiré_pattern

— MBaz

MBaz, я ищу математическое объяснение того, почему шаблон псевдонимов выглядит так, как он!

— ЧД

Да, картина муара может быть предсказана. Вы знакомы с преобразованием Фурье?

— Маркус Мюллер

Недостаточно использовать его в этой ситуации!

— ЧД

Приходится ложиться спать сейчас, надеюсь, что вам поможет примерно математическое объяснение, приведенное ниже, основанное на предположении, что кто-то, имеющий мощность счетного бесконечного множества, может более или менее заинтересоваться скорее абстрактным представлением, чем функционально-аналитическим объяснением.

— Маркус Мюллер

Вам нужно понять теорему выборки . Короче говоря, каждый сигнал имеет то, что мы называем спектром ¹, который является преобразованием Фурье сигнала, как он поступает во временной области (если это сигнал времени), или пространственной области (если это изображение. Поскольку преобразование Фурье) является биективным, сигнал и его преобразование эквивалентны, на самом деле преобразование Фурье часто можно интерпретировать как изменение базиса. Мы называем это «преобразованием в частотную область», поскольку значения преобразования Фурье для низких ординат описывают вещи, которые изменяются медленно в исходном (временном или пространственном) сигнале области, тогда как высокочастотный контент представлен значениями преобразования Фурье с высоким положением.

Как правило, такие спектры могут иметь определенную поддержку ; поддержка - это минимальный интервал, за пределами которого спектр равен 0.

Если вы теперь используете систему наблюдений, чья способность воспроизводить частоты ограничена интервалом, который меньше, чем упомянутая поддержка (кстати, который часто бесконечен и всегда бесконечен для сигналов, имеющих конечное расширение во времени или пространстве), вы не может представлять исходный сигнал с этой системой.

В этом случае ваша картинка имеет определенное разрешение - в конечном итоге это тот факт, что вы оцениваете значение своей функции в дискретных точках с фиксированным, бесконечно малым интервалом. Инверсией этого интервала является (пространственная) частота дискретизации.

Таким образом, ваша картинка не может представлять исходный сигнал - просто математически невозможно, чтобы отображение базовой функции на пиксели действительно эквивалентно исходной функции, поскольку мы знаем, что в этом случае общий диапазон частот, представляемых вашей оценкой в дискретных точках («Выборка») составляет половину частоты выборки, и, следовательно, что-то должно пойти не так с той частью спектра вашего сигнала, которая превышает половину частоты выборки.

Фактически получается, что спектр получает псевдонимы - каждый спектральный компонент на частоте "сдвигается" вниз на , так что . По сути, это приводит к «структуре», где (кажется) не должно быть некоторых. $f_o \ge \frac{f_\text{sample}}{2}$ $n\cdot f_\text{sample},\, n\in \mathbb Z$ $|f_o-nf_\text{sample}| < \frac{f_\text{sample}}{2}$

Возьмите «большие» структуры из вашей картины, которые я нарисовал зеленым:

Похоже, что здесь присутствует низкочастотный контент, но на самом деле это просто высокочастотный контент на частотах который был наложен на низкие частоты, так как он был близок к целое число, кратное частоте дискретизации. $>\frac{f_\text{sample}}2$

Итак, да , вы можете предсказать артефакты, которые происходят с 2D-сигналом при выборке, сравнивая его преобразование Фурье с полосой пропускания, предлагаемой частотой дискретизации.

¹ это может отличаться от спектра, используемого в линейной алгебре для описания собственных свойств операторов.

— Маркус Мюллер
источник

Neato !! Большое спасибо за этот подробный ответ. Кажется, что поведение каждого из зеленых битов немного отличается, и я предполагаю, что это зависит от значения . Я должен прочитать всю эту вещь преобразования Фурье !!

n

$n$

— BH