Когда кубическая сплайн-интерполяция лучше, чем интерполяционный полином?

Следующий сюжет представляет собой небольшую вариацию примера из учебника. Автор использовал этот пример, чтобы проиллюстрировать, что интерполяционный полином по одинаково разнесенным выборкам имеет большие колебания вблизи концов интерполяционного интервала. Конечно, кубическая сплайн-интерполяция дает хорошее приближение по всему интервалу. В течение многих лет я думал, что следует избегать полиномиальной интерполяции высокого порядка по одинаково разнесенным выборкам по причине, показанной здесь.

Однако недавно я нашел много примеров сигналов с ограниченной полосой пропускания, в которых интерполяционный полином высокого порядка дает меньшую погрешность аппроксимации, чем интерполяция кубического сплайна. Обычно интерполяционный полином более точен во всем интервале интерполяции, когда частота дискретизации достаточно высока. Кажется, это имеет место, когда выборки равномерно распределены с частотой выборки, по крайней мере, в 3 раза большей, чем частота Найквиста сигнала. Кроме того, преимущество по сравнению с кубической сплайн-интерполяцией улучшается с увеличением (частоты дискретизации) / (частоты Найквиста).

В качестве примера я сравниваю интерполяцию кубического сплайна с интерполяционным полиномом для синусоидальной волны с частотой Найквиста 2 Гц и частотой дискретизации 6,5 Гц. Между точками выборки интерполирующий полином выглядит точно так же, как и фактический сигнал.

Ниже я сравниваю ошибку в двух приближениях. Как и в первом примере, полиномиальная интерполяция выполняется хуже всего в начале и в конце интервала выборки. Однако интерполяционный полином имеет меньшую погрешность, чем кубический сплайн на всем интервале выборки. У интерполяционного полинома также меньше ошибок при экстраполяции за небольшой интервал. Я обнаружил хорошо известный факт? Если так, где я могу прочитать об этом?

interpolation

— Тед Эрсек
источник

Вы аппроксимируете формулу или данные? Учитывая формулу, как у вас, вы всегда можете использовать более сложные сплайны, где также учитываются производные более высокого порядка. Вам также следует проверить тот факт, что кубический сплайн минимизирует определенную «энергетическую» функцию. Посмотрите в Википедии en.wikipedia.org/wiki/Spline_interpolation . Таким образом, в определенном смысле, минимизация кривизны, вы не можете сделать лучше. Альтернативная интерпретация состоит в том, что кубические сплайны были / используются для подгонки; не аппроксимирующий «Подгонка» подразумевает определенную метрику для оптимизации.

— Rogers

@ rrogers, я думал, что интерполяционный полином будет лучшим подходом, когда кто-то хочет оценить функцию по измеренным выборкам, а ширина полосы сигнала, как известно, составляет менее 1/6 частоты дискретизации. Это

— Тед Эрсек

@TedErsek: Одно качественное соображение: по своей природе полиномиальные функции расходятся в как переменную абсциссы . Этот эффект усугубляется с увеличением полиномиального порядка. Обратите внимание, что в первом примере аппроксимируемый сигнал уменьшается до нуля в конце интервала интерполяции; это несовместимо с асимптотическим поведением интерполанта. Второй график имеет крутой наклон и ненулевые значения вблизи краев интервала, поэтому вы получите лучшее приближение. Не очень теоретический здесь, просто наблюдение.

\pm \infty

$\pm \infty$

\to \infty

$\to \infty$

— Джейсон Р

@TedErsek В качестве практического подхода к рассмотрению комментария Теда Эрсека; Вы пробовали рациональное полиномиальное приближение. Кстати, у меня есть бесплатная копия программы оценки формул кривой год назад, которая действительно неплохо работает. Программа прошла от бета-версии до оплаты, поэтому у меня нет текущей версии.

— Rogers

@JasonR Я хотел адресовать тебе мой последний комментарий. Вернемся к теме. В любом случае, существуют en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_polynomials, которые обеспечивают равномерную (минимальную / максимальную) аппроксимацию ошибок в полиномах, если вы знаете функцию. Но если вы знаете функцию, вы всегда можете синтезировать «согласованный фильтр».

— Rogers

Обсуждаемый феномен - это феномен Рунге .

Максимальное абсолютное значение й производной от равно . Для функции Рунге максимальное абсолютное значение $n$ $\sin(\omega t)$ $\omega^n$ $\frac{1}{25t^2+1}$ $n$ й (четной) производной равно гдеобозначает факториал. Это намного быстрее роста. Только если производные растут слишком быстро при увеличении , возможно, что ошибка интерполяции расходится при увеличении порядка интерполяции. Экспонента по еще не слишком быстра. Взгляните на: Джеймс Ф. Эпперсон, На примере Рунге , Американский математический месяц , том. 94, 1987, с. 329-341. $5^nn!,$ $n!$ $n$ $n$

Если функция имеет только непрерывные производные, то конкурирующий подход, кусочно-полиномиальная сплайн-интерполяция всегда сходится, если небольшое фиксированное число ее ранних производных ограничено в интересующем интервале, см. Статью Википедии о линейной интерполяции в качестве примера.

Если оба метода сходятся, то (не кусочная) полиномиальная интерполяция имеет преимущество более высокой степени полинома, если используется много выборок, и может обеспечить лучшее приближение, как вы видели в своем примере с синусоидой. Вас также может заинтересовать Л. Н. Трефетен, Два результата о полиномиальной интерполяции в равномерно распределенных точках , Журнал теории приближений, том 65, выпуск 3, июнь 1991 г., стр. 247-260. Quote:

[...] в ограниченной по полосе интерполяции сложных показательных функций ошибка уменьшается до как если и только если достаточно мала, чтобы обеспечить как минимум шесть точек на длину волны. $e^{i\alpha x}\, (\alpha \in \mathbb{R}),$ $0$ $n \to \infty$ $\alpha$

У вас есть 6,5 образцов на длину волны.

— Олли Нимитало
источник