Ковариация против автокорреляции

13

Я пытаюсь выяснить, есть ли прямая связь между этими понятиями. Строго из определений, они кажутся разными понятиями в целом. Однако чем больше я думаю об этом, тем больше я думаю, что они очень похожи.

Пусть - случайные векторы WSS. Ковариация, , определяется как где обозначает эрмитову вектора. $X,Y$ $C_{XY}$

C_{X Y} = E [(X - μ_{x}) (Y - μ_{y})^{H}]

$C_{XY}=E\left[(X-\mu_x)(Y-\mu_y)^H\right]$

H

$H$

Пусть - случайный вектор WSS. Автокорреляционная функция, , определяется как $Z$ $R_{XX}$

R_{Z Z} (τ) = E [(Z (n) - μ_{z}) {(Z (n + τ) - μ_{z})}^{H}]

$R_{ZZ}(\tau)=E\left[\left(Z(n)-\mu_z\right)\left(Z(n+\tau)-\mu_z\right)^H\right]$

Примечание к редактированию В это определение внесено исправление применительно к обработке сигналов, см. Ответ Мэтта ниже.

Ковариация не включает в себя концепцию времени, она предполагает, что каждый элемент случайного вектора представляет собой различную реализацию некоторого случайного генератора. Автокорреляция предполагает, что случайный вектор является временной эволюцией некоторого исходного случайного генератора. Тем не менее, в конце концов, они являются одним и тем же математическим объектом, последовательностью чисел. Если вы позволите , то появится Есть ли что-то более тонкое, чего мне не хватает? $X=Y=Z$

C_{X Y} = R_{Z Z}

$C_{XY}=R_{ZZ}$

autocorrelation covariance proof

— rbell
источник

Определение автокореллирующей неправильно указано в вопросе , как отметил Мэтт

R_{Z Z} (τ)

$R_{ZZ}(\tau)$

— ijuneja

12

Согласно вашему определению автокорреляции, автокорреляция - это просто ковариация двух случайных величин и . Эта функция также называется автоковариантностью . $Z(n)$ $Z(n+\tau)$

Кроме того, при обработке сигналов автокорреляция обычно определяется как

R_{X X} (t_{1}, t_{2}) = E {X (t_{1}) X^{*} (t_{2})}

$R_{XX}(t_1,t_2)=E\{X(t_1)X^*(t_2)\}$

т.е. без вычитания среднего. Автоковариация дается

C_{X X} (t_{1}, t_{2}) = E {[X (t_{1}) - μ_{X} (t_{1})] [X^{*} (t_{2}) - μ_{X}^{*} (t_{2})]}

$C_{XX}(t_1,t_2)=E\{[X(t_1)-\mu_X(t_1)][X^*(t_2)-\mu^*_X(t_2)]\}$

Эти две функции связаны

C_{X X} (t_{1}, t_{2}) = R_{X X} (t_{1}, t_{2}) - μ_{X} (t_{1}) μ_{X}^{*} (t_{2})

$C_{XX}(t_1,t_2)=R_{XX}(t_1,t_2)-\mu_X(t_1)\mu^*_X(t_2)$

— Мэтт Л.
источник

Если вы посмотрите на как на переменную, то автокорреляция станет функцией того «временного промежутка», который может дать очень интересную информацию о наборе данных. Посмотрите на связь между автокорреляцией, дискретными преобразованиями Фурье и теоремой Винера – Хинчина.

τ

$\tau$

— PhilMacKay

@PhilMacKay: Конечно, но это работает только для процессов WSS. Я дал определения для общего случая, когда процессы не обязательно являются стационарными.

— Мэтт Л.

Да, действительно, нестационарные процессы могут раздражать анализ данных, поэтому я всегда стараюсь вывести из строя данные перед использованием моих любимых статистических инструментов! Хотя это не всегда возможно ...

— PhilMacKay

0

Обратите внимание, что в вашем определении автокорреляции есть дополнительный термин , который определяет смещение от двух последовательностей чисел и . Фактически, обозначения предполагают, что является непрерывной функцией, определенной для любого , тогда как является скаляром. $\tau$ $Z(n)$ $Z(n+\tau)$ $R_{ZZ}(\tau)$ $\tau \in \mathbb{R}^+$ $C_{XY}$

Как вы упомянули, если вы позволите , то вы подразумеваете, что , что является одним частным случаем . $X=Y=Z$ $\tau = 0$ $R_{ZZ}(\tau)$

В моем личном опыте (астрофизика, обработка различных сенсоров) ковариация использовалась в качестве коэффициента для проверки сходства двух наборов данных, в то время как автокорреляция использовалась для характеристики расстояния корреляции, то есть того, как быстро данные эволюционируют, чтобы стать другими данными полностью.

— PhilMacKay
источник