В чем разница между различием гауссовского, лапласа гауссовского и мексиканского шляпного вейвлета?

В CV используются три метода, которые кажутся очень похожими друг на друга, но с небольшими различиями:

Лапласиан Гауссова: $\nabla^2\left[g(x,y,t)\ast f(x,y)\right]$
Различие гауссиан: $\left[g_1(x,y,t)\ast f(x,y)\right] - \left[g_2(x,y,t)\ast f(x,y)\right]$
Свертка с вейвлетом Рикера : $\textrm{Ricker}(x,y,t)\ast f(x,y)$

Насколько я понимаю в настоящее время: DoG является приближением к LoG. Оба используются в обнаружении BLOB-объектов, и оба работают в основном как полосовые фильтры. Свертывание с вейвлетом Мексиканская шляпа / Рикер, похоже, дает почти такой же эффект.

Я применил все три метода к импульсному сигналу (с необходимым масштабированием, чтобы получить сходные величины), и результаты чертовски близки. На самом деле, LoG и Ricker выглядят почти одинаково. Единственное реальное отличие, которое я заметил, в DoG, у меня было 2 свободных параметра для настройки ( и ) против 1 для LoG и Ricker. Я также обнаружил, что вейвлет был самым простым / быстрым, поскольку его можно было сделать с помощью одной свертки (с помощью умножения в пространстве Фурье с FT ядра) против 2 для DoG и свертки с лапласианом для LoG. $\sigma_1$ $\sigma_1$

Каковы сравнительные преимущества / недостатки каждого метода?
Существуют ли разные варианты использования, когда один затмевает другой?

У меня также есть интуитивная мысль, что на дискретных выборках LoG и Ricker вырождаются в одну и ту же операцию, поскольку может быть реализовано как ядро . $\nabla^2$

[\begin{matrix} - 1, & 2, & - 1 \end{matrix}] or [\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 \\ - 1 & 4 & - 1 \\ 0 & - 1 & 0 \end{matrix}] for 2D images

$\begin{bmatrix}-1,& 2,& -1\end{bmatrix}\quad\text{or}\quad\begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}\quad\text{for 2D images}$

Применение этой операции к гауссову приводит к вейвлету Рикера / Хэта. Кроме того, поскольку LoG и DoG связаны с уравнением диффузии тепла, я считаю, что смогу добиться того, чтобы оба соответствовали достаточному изменению параметров.

(Я все еще промокаю от этого материала, чтобы смело исправлять / уточнять все это!)

— DeusXMachina
источник

Ответы:

Лаплас гауссовский

Лапласа Гаусса (LoG) изображения можно записать как $f$

\nabla^{2} (f * g) = f * \nabla^{2} g

$\nabla^2 (f * g) = f * \nabla^2 g$

с гауссово ядро и свертка. Таким образом, Лаплас изображения, сглаженного ядром Гаусса, идентичен изображению, свернутому с Лапласом ядра Гаусса. Эта свертка может быть дополнительно расширена, в 2D случае, как $g$ $*$

f * \nabla^{2} g = f * (\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} g + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} g) = f * \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} g + f * \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} g

$f * \nabla^2 g = f * \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}g+\frac{\partial^2}{\partial y^2}g\right) = f * \frac{\partial^2}{\partial x^2}g + f * \frac{\partial^2}{\partial y^2}g$

Таким образом, его можно вычислить как сложение двух сверток входного изображения со вторыми производными ядра Гаусса (в 3D это 3 свертки и т. Д.). Это интересно, поскольку ядро Гаусса отделимо, как и его производные. Это,

f (x, y) * g (x, y) = f (x, y) * (g (x) * g (y)) = (f (x, y) * g (x)) * g (y)

$f(x,y) * g(x,y) = f(x,y) * \left( g(x) * g(y) \right) = \left( f(x,y) * g(x) \right) * g(y)$

Это означает, что вместо двумерной свертки мы можем вычислить одно и то же с использованием двух одномерных сверток. Это экономит много вычислений. Для самого маленького мыслимого ядра Гаусса у вас будет 5 выборок по каждому измерению. 2D свертка требует 25 умножений и сложений, две 1D свертки требуют 10. Чем больше ядро или чем больше размер изображения, тем значительнее эти вычислительные сбережения.

Таким образом, LoG может быть вычислен с использованием четырех 1D сверток. Однако само ядро LoG неразделимо.

Существует приближение, когда изображение сначала сворачивается с ядром Гаусса, а затем реализуется с использованием конечных разностей, что приводит к ядру 3x3 с -4 в середине и 1 в его четырех соседних ребрах. $\nabla^2$

Вейвлет Ricker или оператор мексиканской шляпы идентичны LoG, вплоть до масштабирования и нормализации .

Разница гауссов

Разность гауссианов (DoG) изображения может быть записана как $f$

f * g_{(1)} - f * g_{(2)} = f * (g_{(1)} - g_{(2)})

$f * g_{(1)} - f * g_{(2)} = f * (g_{(1)} - g_{(2)})$

Таким образом, как и в случае с LoG, DoG можно рассматривать как одну неразделимую двумерную свертку или сумму (в данном случае разность) двух отделимых сверток. С этой точки зрения, похоже, что в использовании DoG по сравнению с LoG нет вычислительных преимуществ. Однако DoG является перестраиваемым полосовым фильтром, LoG не настраивается таким же образом, и его следует рассматривать как оператор производной. DoG также естественным образом появляется в масштабном пространстве, где изображение фильтруется во многих масштабах (гауссианы с разными сигмами), разница между последующими масштабами - это DoG.

Существует ядро DoG, которое является отделимым, что вдвое снижает вычислительные затраты, хотя это приближение не является изотропным, что приводит к зависимости фильтра от вращения.

Однажды я показал (для себя) эквивалентность LoG и DoG для DoG, где разница в сигме между двумя гауссовыми ядрами бесконечно мала (вплоть до масштабирования). У меня нет записей об этом, но это было нетрудно показать.

Другие формы вычисления этих фильтров

В ответе Лорана упоминается рекурсивная фильтрация, а в ОП - вычисления в области Фурье. Эти концепции применимы как к LoG, так и к DoG.

Гауссовы и его производные могут быть вычислены с использованием рекурсивного фильтра причинной и анти-причинного. Таким образом, все упомянутые выше одномерные свертки могут быть применены в постоянное время к сигме. Обратите внимание, что это эффективно только для больших сигм.

Аналогичным образом, любая свертка может быть вычислена в области Фурье, поэтому и двумерные ядра DoG и LoG могут быть преобразованы в область Фурье (или, скорее, вычислены там) и применены умножением.

В заключении

Нет существенных различий в вычислительной сложности этих двух подходов. Мне еще предстоит найти вескую причину для аппроксимации LoG с помощью DoG.

— Крис Луенго
источник

Это фантастический ответ! Я собираюсь обновить это как новый ответ, не то , чтобы ответ Лорана был неправильным или неполным, но вы нашли время, чтобы добавить отличную вторую перспективу к ответу на вопрос годовалого ребенка.

— DeusXMachina

DoG и LoG встречаются в масштабе «коры»

— Лоран Дюваль

Вейвлет Рикера, (изотропный) вейвлет Марра, мексиканская шляпа или лапласиан гауссианов принадлежат к одному и тому же понятию: непрерывные допустимые вейвлеты (удовлетворяющие определенным условиям). Традиционно вейвлет Рикера является 1D версией. Вейвлет Марра или мексиканская шляпа - это имена, данные в контексте декомпозиции двумерных изображений, вы можете рассмотреть, например, Раздел 2.2 Панорамы о многомасштабных геометрических представлениях, переплетающих пространственную, направленную и частотную селективность , Обработка сигналов, 2011, Л. Жак и др. и др. Лапласиан Гаусса является многомерным обобщением.

Однако на практике люди принимают разные типы дискретизации на разных уровнях.

Я склонен полагать (если не дать более подробную информацию), что ядро с дискретным градиентом примененное к гауссову, - это не исходный Рикер, а упрощение, объясняющее тонкие различия в графике. Я заинтересован в ссылках. Действительно, вы можете иметь как минимум две естественные дискретизации оператора Лапласа (4- и 8-соседей): $3\times 3$ $3\times 3$

(\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 \\ - 1 & 4 & - 1 \\ 0 & - 1 & 0 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ \end{pmatrix}$

или Есть и другие приближения, например, с ядро , или другие аватары лапласиана / лапласиана гауссова .

(\begin{matrix} - 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 8 & - 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 \\ -1 & 8 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \\ \end{pmatrix}$

5 \times 5

$5\times 5$

При правильном выборе их коэффициентов дисперсии и (обычно около 1,6) разность гауссианов обеспечивает хорошее сепарабельное приближение к LoG (см., Например, Быструю фильтрацию почти Гаусса , P. Kovesi). Эти гауссианы, в свою очередь, могут быть аппроксимированы рекурсивными приближенными гауссианами . $\sigma_1$ $\sigma_2$

Но были использованы другие соотношения, например, в некоторых лапласовых пирамидах, которые превращают DoG в более общие полосовые фильтры или детекторы краев.

Последняя ссылка: Сопоставление изображений с использованием обобщенных точек интереса в масштабе шкалы , Т. Линдеберг, 2015.

— Лоран Дюваль
источник

Очень поучительно, спасибо! Таким образом, из Fast Gaussian Smoothing звучит так, что DoG имеет вычислительные преимущества в том смысле, что его можно выполнять непосредственно в пространственной области, поэтому я предполагаю, например, обработку сигналов на кристалле для CCD / интегрированного компьютерного зрения. Кроме того, Панорама выглядит как фантастическое чтение в целом, спасибо!

— DeusXMachina

С быстрыми приближениями вы действительно можете выполнять ряд операций независимо от масштаба

— Лоран Дюваль

Откуда берется соотношение 1,6? Если вы напишете математику, вы увидите, что существует точная эквивалентность между второй производной гауссиана и разностью гауссов с бесконечно малой разницей в сигме (с точностью до масштабирования).

— Крис Луенго

Из приложения B к Marr and Hildreth, 1980, они называют это «наилучшим инженерным приближением» с компромиссом между пропускной способностью и чувствительностью, основанным на кривых качества, при изменении отношения ширины. В прошлом я встречал некоторые работы в Делфте с таким же именем. Стечение обстоятельств?

— Лоран Дюваль

@ LaurentDuval: я защитил докторскую диссертацию в Делфте. Там нет других людей с моим именем, AFAIK. Я вижу, как вы можете получить (субъективный) оптимум на основе чувствительности и пропускной способности. Если отношение слишком мало, отклик слишком низкий, вероятно, больше зависит от шума дискретизации, чем от чего-либо еще; если соотношение слишком высокое, это не интересный фильтр. Имеет смысл. Спасибо!

— Cris Luengo