Есть ли альтернативная характеристика разреженности сигнала при сжатии?

Исходное предположение для сжатого восприятия (CS) состоит в том, что лежащий в основе сигнал является разреженным в некоторой основе, например, существует максимум ненулевых коэффициентов Фурье для разреженного сигнала. И опыт реальной жизни показывает, что рассматриваемые сигналы часто редки.$s$

Вопрос заключается в том, что перед тем, как отправить сигнал получателю перед отправкой битов со сжатой выборкой и дать ему возможность восстановить все свои возможности, существует ли способ определить его разреженность и является ли он подходящим кандидатом на сжатие? чувствуя в первую очередь?

Альтернативно, есть ли какая-либо дополнительная / альтернативная характеристика разреженности, которая может быстро сказать нам, будет ли CS полезен или нет. Можно легко увидеть, что отправитель может сделать именно то, что получатель сделает с каким-то случайно выбранным набором измерений, а затем попытаться выяснить ответ. Но есть ли альтернативный способ решить этот вопрос?

Я подозреваю, что что-то подобное должно быть изучено, но я не смог найти хороший указатель.

Примечание: я разместил этот вопрос в Mathoverflow несколько недель назад, но не получил никакого ответа. Отсюда и кросс-пост.

В действительности, существуют способы оценки разреженности или информационного содержания в устройстве сбора данных. Детали, практичность и фактическая полезность этого процесса спорны и сильно зависят от контекста, в котором они применяются. В случае формирования изображения можно определить области изображения, которые являются более или менее сжимаемыми в заранее определенной основе. Например, см. «Сжатие семплов на основе достоверности для сигналов изображения» Yu et al . В этом случае дополнительные требования к сложности, предъявляемые к устройству сбора данных, обеспечивают предельные выгоды.

Что касается ваших вопросов о принятии решений относительно полезности сжатого зондирования для данного сигнала во время получения: если данный сигнал соответствует какой-либо модели, известной априори , возможно сжатое зондирование. Точное восстановление просто зависит от соотношения между количеством выполненных измерений и степенью, в которой выбранный сигнал соответствует вашей модели. Если это плохая модель, вы не пройдете фазовый переход, Если это хорошая модель, то вы сможете рассчитать точную реконструкцию исходного сигнала. Кроме того, измерения с использованием сжатого восприятия, как правило, рассчитаны на будущее. Если у вас есть определенное количество измерений для сигнала, которых недостаточно для точного восстановления исходного сигнала с использованием модели, которую вы используете сегодня, то все еще можно разработать лучшую модель завтра, для которой этих измерений достаточно для точного восстановления.

Дополнительное примечание (правка) . Упомянутый в вашем вопросе подход к получению звучал довольно близко к адаптивному сжатому восприятию, поэтому я подумал, что следующее может заинтересовать читателей этого вопроса. Недавние результаты, полученные Ариасом-Кастро, Кандесом и Давенпортом, показали, что стратегии адаптивных измерений теоретически не могут дать сколько-нибудь значительных преимуществ по сравнению с неадаптивными (то есть слепыми) измерениями при сжатии. Я отсылаю читателей к их работе «Об основных границах адаптивного зондирования», которая должна скоро появиться в ITIT.

Одним из практических подходов будет проверка вашего сигнала интереса с помощью выбора словарей, чтобы выяснить, не редок ли он в каком-либо из них. Вам на самом деле не нужно делать то, что должен делать приемник, то есть сжимать и восстанавливать сигнал, чтобы увидеть, редок ли он в конкретном словаре. Вы можете применить к нему линейное преобразование и проверить, является ли преобразованный вектор разреженным. Если это так, обратное преобразование - это ваш словарь. Под редкостью я подразумеваю подсчет числа ненулевых или ничтожных коэффициентов в векторе. Например, вычислите ДПФ вашего сигнала. Если его представление в частотной области оказывается разреженным (достаточно), вы можете использовать обратный ДПФ в качестве словаря. Если преобразование не является обратимым, например, широкая матрица, это не так просто, но все же должно быть выполнимо с кадрами.

Что касается альтернатив разреженности, эндолит упоминает о некоторых попытках обобщить «простоту» не только в разреженности. Кроме того, есть также:

1. Низкий ранг: используется при заполнении матрицы, что является своего рода обобщением матрицы сжатого восприятия. См., Например, точное заполнение матрицы с помощью выпуклой оптимизации и новые статьи Candès et al.
2. « k -простота»: векторы не совсем редки; большинство их записей - либо a, либо b, и несколько ( k ) из них находятся между ними. Это, например, описано в Donoho & Tanner, «Точные теоремы о дискретизации» (пример 3).

В статье Майлза Лопеса «Оценка неизвестной разреженности при сжатии» рассматривается проблема оценки разреженности сигнала с помощью нескольких линейных измерений. Обратите внимание, что он оценивает отношение , которое является нижней границей разреженности. И я думаю, что вам нужно знать или исправлять основы разреженности.$\|x\|_1^2/\|x\|_2^2$