Что является хорошим примером эргодического процесса?

Я пытаюсь найти простые примеры эргодического процесса. Какой процесс приходит на ум в качестве хорошей иллюстрации его свойств?

Быстрое исследование ( Википедия , другой ответ ) в основном приводит примеры неэргодических процессов. Кроме того, мне интересно, какие явления в реальном мире можно смоделировать как эргодический процесс?

Просто предположим, что я дам вам серию цифр и скажу, что они были выбраны случайным образом. И вы знаете, я не пытаюсь вас обмануть. Числа: $3$ , $1$ , $4$ , $1$ , $5$ , $3$ , $2$ , $3$ , $4$ , $3$ .

Теперь я предлагаю вам предсказать следующий или, по крайней мере, как можно ближе. Какой номер вы выберете?

[Думать]

[Вычислить]

• Бьюсь об заклад, большинство читателей, вероятно, выберут число от $0$ до $6$ . Из-за ограниченного промежутка.
• Возможно целое число. Кто может предложить $\pi$ (даже думая о первых цифрах)?
• Возможно $2$ , $3$ или $4$ . Может быть, даже $3$ .

По сути, вы предполагаете, что я предоставил числа с каким-то неизвестным правилом. И, возможно, вы можете подумать (или выдвинуть гипотезу), что последовательность данных чисел, если она достаточно длинная, может дать вам хорошее понимание правил, которые я имею в виду. Если вы сделаете это, вы предположите, что мой умственный процесс эргодичен:

процесс, в котором каждая последовательность или значительная выборка одинаково представляют целое (как в отношении статистического параметра) ( Merriam-Webster )

Здесь нет никакого способа быть уверенным в том, что мои серии следуют эргодическому процессу. 3432 - это PIN-код моей карты, 3 - ошибка (я хотел 6, но я неуклюжий), 4, 3, 1 и 5 - первые цифры $\pi$ которые я использую довольно часто. Мой следующий «номер» был бы C (в шестнадцатеричном). Я не считаю этот процесс эргодическим. Каждый номер выходит из разных законов. Но, честно говоря, я не знаю. Может быть, я подчиняюсь некоторым силам высшего порядка, которые ведут меня по правилам эргодичности.

Таким образом, эргодичность является гипотезой своего рода «простоты» в правилах процесса. Как стационарность или редкость. Разыграть обычный кубик с $6$ лицами. Бросить нормальную монету. Если ничто снаружи не пытается повлиять на результат (невидимое существо, которое ловит кубик и показывает какое-то лицо по своему выбору), вы, вероятно, произведете эргодический процесс.

Вместо того, чтобы бросать бесконечное количество монет с помощью бесконечного количества больших пальцев, точно в одну и ту же секунду, вы подбрасываете одну монету каждую секунду и считаете, что конечный результат примерно одинаков.

Броуновское движение также обладает эргодическими свойствами.

Из статьи в Википедии:

случайный процесс называется эргодическим, если его статистические свойства могут быть получены из единственной, достаточно длинной случайной выборки процесса.

Другими словами: статистические свойства ансамбля времени совпадают со статистическими свойствами ансамбля реализации.

Возможно, нам нужно сделать шаг назад и поговорить о том, что такое стохастический процесс, чтобы начать.

Представь, что это бурный день. Вы сидите дома и смотрите в окно. Время от времени вы видите, как листья уносят ваше окно. Вы получаете маркеры на белой доске и рисуете систему координат на своем окне, так что теперь вы можете наблюдать несколько путей листьев и сравнивать их:

Таким образом, каждый путь - это одна из реализаций стохастического процесса «тропинки в бурный день».

$y$$x$

$x$$y$$x$ .

Как правило, труднее понять неэргодический случай (поэтому люди чаще ищут примеры таких процессов).

В качестве примера эргодического процесса, пусть процесс $X(t)$представляют повторные броски монет. В каждый раз$t$у нас есть случайная величина $X$ который может выбирать между $0$ или $1$, Если это честная монета, значит, ансамбль означает$\frac{1}{2}$ так как две возможности равновероятны.

Теперь, если вы повторите это испытание в течение большого количества раз, как $N$ а затем рассчитать среднее время $m=\frac{X(1)+X(2)+\cdots}{N}$тогда вы можете увидеть, что $m\to \frac{1}{2}$, Следовательно, среднее по ансамблю равно среднему по времени, и процесс является эргодическим.

Что касается второй части вашего вопроса, мы можем использовать эргодичность для упрощения задач. Например, между средним по ансамблю и средним временем может быть сложно или даже невозможно рассчитать (или смоделировать). Но поскольку мы знаем (или предполагаем), что процесс эргодичен (то есть они идентичны), мы просто вычисляем тот, который проще. В качестве примера я могу привести методы Монте-Карло (например, те, которые мы используем для моделирования характеристик ошибок в системе связи), в которых мы моделируем цепочку передачи-приема, повторяем ее несколько раз и усредняем результаты, чтобы узнать о свойства ансамбля (например, вероятность ошибки и т. д.).