Заполнение нулями в частотной области - специальная обработка X [N / 2]

Предположим, мы хотим интерполировать периодический сигнал с четным числом отсчетов (например, N = 8) путем заполнения нулями в частотной области.

Позвольте DFT X=[A,B,C,D,E,F,G,H]
Теперь давайте добавим 16 образцов Y. Каждый пример учебника и онлайн-учебник, который я видел, вставляет нули при подаче . (Тогда это интерполированный сигнал.)[Y₄...Y₁₁]
Y=[2A,2B,2C,2D,0,0,0,0,0,0,0,0,2E,2F,2G,2H]
y = idft(Y)

Почему бы не использовать вместо этого Y=[2A,2B,2C,2D,E,0,0,0,0,0,0,0,E,2F,2G,2H]?

Насколько я могу судить (мои знания по математике ограничены):

Минимизирует общую мощность
Это гарантирует, что если оно xявляется реальнымy
yпо-прежнему пересекается xво всех точках выборки, как требуется (я думаю, что это верно для любого pместа Y=[2A,2B,2C,2D,pE,0,0,0,0,0,0,0,(2-p)E,2F,2G,2H])

Так почему же так никогда не делается?

Редактировать : xне обязательно реальный или ограниченный диапазон.

dft interpolation zero-padding

— finnw
источник

Вы пишете "Каждый пример учебника и онлайн-учебник, который я видел, вставляет нули в ...", можете ли вы обновить свой пост некоторыми ссылками? Просто любопытно, потому что вы также пишете, что x не обязательно является действительным значением, и первая упомянутая вами конструкция (в общем случае) не дает (в общем) реального результата с помощью обратного ДПФ.

— Ниарен

@niaren вот один пример: dspguru.com/dsp/howtos/…

— finnw

Стоит отметить, что для того, чтобы

был действительным значением, вам необходимо указать

y

$y$

Y = [2 A, 2 B, 2 C, 2 D, E, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, E^{*}, 2 F, 2 G, 2 H]

$Y=[2A,2B,2C,2D,E,0,0,0,0,0,0,0,E^*,2F,2G,2H]$ (т. е. когда вы дублируете E для «отрицательной частоты» половины вектора частотной области, вам необходимо сопрягать его. Сигналы, которые действительны во временной области, имеют сопряженно-симметричные ДПФ.

— Jason R

@ Джейсон R, если входной сигнал является действительным значением, то и E так [2A, 2B, 2C, 2D, E, 0,0,0,0,0,0,0, E, 2F, 2G, 2H] удовлетворяет этому условию. Если входные данные не являются действительными, то нет необходимости заставлять выходные данные быть действительными.

— Finnw

Ты прав. Вот что я получаю за то, что пишу комментарий слишком поздно вечером.

— Джейсон Р

Ответы:

Давайте посмотрим на частоты бинов в вашем 8-точечном ДПФ:

Поэтому при интерполяции с коэффициентом 2 , точкачастоты «ы становитсяили.

\begin{matrix} ω_{A} знак равно 0, \\ ω_{В} знак равно π / 4, \\ ω_{С} знак равно π / 2, \\ ω_{D} знак равно 3 π / 4, \\ ω_{Е} знак равно π знак равно - π (м о d 2 π), \\ ω_{F} знак равно 5 π / 4 знак равно - 3 π / 4 (м о d 2 π), \\ ω_{грамм} знак равно 3 π / 2 знак равно - π / 2 (м о d 2 π), \\ ω_{ЧАС} знак равно 7 π / 4 знак равно - π / 4 (м о d 2 π) \end{matrix}

$\begin{array}{c} \omega_A = 0,\\ \omega_B = \pi/4,\\ \omega_C = \pi/2,\\ \omega_D = 3\pi/4,\\ \omega_E = \pi = -\pi\ ({\tt mod}\ 2\pi),\\ \omega_F = 5\pi/4 = -3\pi/4\ ({\tt mod}\ 2\pi),\\ \omega_G = 3\pi/2 = -\pi/2\ ({\tt mod}\ 2\pi), \\ \omega_H = 7\pi/4 = -\pi/4\ ({\tt mod}\ 2\pi) \end{array}$

E

$E$

- π

$-\pi$

+ π

$+ \pi$

На первый взгляд, я не вижу, в чем проблема с вашим подходом, так как не ясно, следует ли помещать в корзину, связанную с или . $E$ $\pi$ $-\pi$

На странице Джулиуса О. Смита III он утверждает условие:

Кроме того, мы требуем, чтобы когда четное, в то время как нечетное не требует такого ограничения. $x(N/2) = x(-N/2) = 0$ $N$

И его пример там для нечетного , что позволяет избежать проблемы. $N$

Не уверен, что это требуется, но вот полная ссылка на работу Юлиуса:

Смит, Д.О. Математика дискретного преобразования Фурье (ДПФ) с аудиоприложениями, второе издание, http://ccrma.stanford.edu/~jos/mdft/ , 2007 г., электронная книга, доступ к которой 28 сентября 2011 г.

— Питер К.
источник

Есть много способов интерполировать данные. В моем понимании интерполяция означает, что вы «рисуете» линии между некоторыми точками данных. Это можно сделать разными способами. Одним из типов интерполяции, который полезен в DSP (особенно в многоскоростном DSP), является «Ограниченная полоса интерполяции». Если вы Google, вы получите много интересных и полезных хитов. То, что вы предлагаете, это не полосовая интерполяция. В вашей «повышенной выборке» х у вас есть частотные компоненты, которых нет в оригинальной х.

Изменить (слишком долго, чтобы вписаться в комментарий):

$X=[A,B,C,D,E,F,G,H]$

Учитывая реальный вклад

$X=[A,B,C,D,E,D^*,C^*,B^*]$

$x_0,0,x_1,0,...$ $0-\pi/2$ $\pi/2 - \pi$

$X2=[A,B,C,D,E,D^*,C^*,B^*,A,B,C,D,E,D^*,C^*,B^*]$

$\pi/2$

$y_n = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x2_k sinc(0.5n - k)$

На практике, однако, будут некоторые искажения, потому что фильтр с кирпичной стеной не реалистичен. Практичный фильтр может подавлять / удалять частоты на входе или оставлять некоторые частотные составляющие в изображении в сигнале с повышенной частотой дискретизации. Или фильтр может сделать компромисс между ними. Я думаю, что ваша конструкция в частотной области также отражает этот компромисс. Эти два примера представляют два разных варианта:

$Y=[A,B,C,D,E,0,0,0,0,0,0,0,E^*,D^*,C^*,B^*]$

$Y=[A,B,C,D,0,0,0,0,0,0,0,0,0,D^*,C^*,B^*]$

Если входной диапазон ограничен ниже частоты Найквиста, как в вашей справке, эта проблема исчезнет.

$\rho$

$Y=[A,B,C,D,\rho,0,0,0,0,0,0,0,\rho^*,D^*,C^*,B^*]$

— niaren
источник

x

$x$

@leftaroundabout Оригинал x ограничен по полосе (в этом примере частоте Найквиста). ОП хочет повысить x в 2 раза (моя интерпретация). Один из способов повышения x - это вставить нули в частотную характеристику, как показано OP (пример без E, тот, который показан в учебниках по DSP), и выполнить обратное FFT. Я считаю, что того же можно было бы достичь, вставив нули (с чередованием) в x и (низкочастотный) фильтр с помощью sinc. При вставке E, как показано OP, повышенная дискретизация x не ограничена полосой частот до исходной частоты Найквиста. Обычно это нежелательно (это искажение). Вы согласны?

— Ниарен

E

$E$

\frac{π}{2} \sim \frac{- π}{2}

$\frac\pi2\sim\frac{-\pi}2$

Я предполагаю, что частота ± N / 2 присутствует в х. Если это не так (из-за ограничения полосы или иным образом), тогда E будет равно 0, так что не будет никакой разницы между заполнением E (или 2E) и заполнением 0.

— finnw

Сигнал с ограниченной полосой пропускания может по-прежнему иметь содержимое в ячейке N / 2 из-за "спектральной утечки" из любого спектрального содержимого с непериодической апертурой в DFT, особенно вблизи (но не при) Fs / 2.

— hotpaw2