Розовое ( ) генерирование псевдослучайного шума

Какие существуют алгоритмы для генерации хорошего псевдослучайного приближения к (розовому) шуму, но подходящие для реализации с низкими вычислительными затратами на целочисленном DSP? $1/f$

noise random

— hotpaw2
источник

Как насчет памяти? Если это не проблема, а вычисления, я бы сказал, сделал iDFT со случайной фазой желаемой частотной кривой и сохранил бы ее в виде статической постоянной волны в вашем устройстве.

— оставил

@leftaroundabout - Или умножил бы ДПФ случайного белого шума на частотную кривую 1 / f, тогда у IDFT были бы лучшие характеристики случайности?

— hotpaw2

Белый шум - это, по сути, случайная фаза iFT постоянной функции, поэтому он не должен иметь большого значения.

— оставлено около

Ответы:

Есть несколько. Этот сайт имеет разумный (но, возможно, старый) список:

— Питер К.
источник

Если этот сайт отключится, ваш ответ исчезнет, если вы приведете основы каждого решения, ответ будет значительно улучшен с использованием сайта в качестве ссылки.

— Кортук

@Kortuk: Ответ вики сообщества, так что не стесняйтесь делать это сами! Информации там должно быть достаточно, чтобы указывать на другие веб-ссылки (например , ответ datageist для первого варианта). Я согласен, однако, что больше деталей было бы хорошо.

— Питер К.

Линейная фильтрация

Первый подход в ответе Питера (т.е. фильтрация белого шума) - это очень простой подход. При обработке спектрального аудиосигнала JOS предоставляет фильтр низкого порядка, который можно использовать для получения достойного приближения , а также анализ того, насколько хорошо полученная спектральная плотность мощности соответствует идеальной. Линейная фильтрация всегда будет давать приближение, но на практике это может не иметь значения. Перефразируя JOS:

Не существует точного (рационального, конечного порядка) фильтра, который может производить розовый шум от белого шума. Это связано с тем, что идеальная амплитудная характеристика фильтра должна быть пропорциональна иррациональной функции , где обозначает частоту в Гц. Однако достаточно просто генерировать розовый шум в любой желаемой степени приближения, в том числе и с точки зрения восприятия. $1/\sqrt{f}$ $f$

Коэффициенты фильтра, который он дает, следующие:

B = [0.049922035, -0.095993537, 0.050612699, -0.004408786];
A = [1, -2.494956002, 2.017265875, -0.522189400];

Они отформатированы как параметры для функции фильтра MATLAB , поэтому для ясности они соответствуют следующей передаточной функции:

H (z) = \frac{.041 - .096 z^{- 1} + .051 z^{- 2} - .004 z^{- 3}}{1 - 2.495 z^{- 1} + 2.017 z^{- 2} - .522 z^{- 3}}

$H(z) = { .041 - .096z^{-1} + .051z^{-2} - .004z^{-3} \over{} 1 -2.495z^{-1} + 2.017z^{-2} - .522z^{-3}}$

Очевидно, что на практике лучше использовать полную точность коэффициентов. Вот ссылка на то, как звучит розовый шум, создаваемый этим фильтром:

Для реализации с фиксированной запятой, так как обычно более удобно работать с коэффициентами в диапазоне [-1,1), некоторая переработка передаточной функции будет в порядке. Как правило, рекомендация состоит в том, чтобы разбить вещи на секции второго порядка , но отчасти это объясняется (в отличие от использования секций первого порядка) для удобства работы с реальными коэффициентами, когда корни сложны. Для этого конкретного фильтра все корни действительны, и объединение их в сечения второго порядка, вероятно, все равно даст некоторые знаменательные коэффициенты> 1, поэтому разумным выбором будет три сечения первого порядка, как показано ниже:

H (z) = \frac{1 - b_{1} z^{- 1}}{1 - a_{1} z^{- 1}} \frac{1 - b_{2} z^{- 1}}{1 - a_{2} z^{- 1}} \frac{1 - b_{3} z^{- 1}}{1 - a_{3} z^{- 1}}

$H(z) = { 1 - b_1z^{-1}\over{1 - a_1z^{-1}} } \space { 1-b_2z^{-1} \over{1-a_2z^{-1} } } \space {1 - b_3z^{-1} \over{ 1 - a_3z^{-1} } }$

где

b_{1} = 0.98223157, b_{2} = 0.83265661, b_{3} = 0.10798089

$b_1 = 0.98223157, \space b_2 = 0.83265661, \space b_3 = 0.10798089$

a_{1} = 0.99516897, a_{2} = 0.94384177, a_{3} = 0.55594526

$a_1 = 0.99516897, \space a_2 = 0.94384177, \space a_3 = 0.55594526$

Для предотвращения переполнения потребуется некоторый разумный выбор последовательности для этих секций в сочетании с некоторым выбором коэффициентов усиления для каждой секции. Я не пробовал ни один из других фильтров, приведенных в ссылке в ответе Питера , но, вероятно, применимы аналогичные соображения.

Белый шум

Очевидно, что подход фильтрации требует, прежде всего, источника однородных случайных чисел. Если подпрограмма библиотеки недоступна для данной платформы, один из самых простых подходов - использовать линейный конгруэнтный генератор . Один пример эффективной реализации с фиксированной запятой дан TI при генерации случайных чисел на TMS320C5x (pdf) . Подробное теоретическое обсуждение различных других методов можно найти в « Генерации случайных чисел» и «Методах Монте-Карло » Джеймса Джентла.

Ресурсы

Несколько источников, основанных на следующих ссылках в ответе Питера, заслуживают внимания.

Первый основанный на фильтрах кусок кода ссылается на введение в обработку сигналов от Orfanidis. Полный текст доступен по этой ссылке, и [в Приложении B] он охватывает как генерацию розового, так и белого шума. Как отмечается в комментарии, Орфанидис в основном охватывает алгоритм Восса.
Спектр, производимый генератором розового шума Восса-Маккартни . Далеко внизу страницы, после обширного обсуждения вариантов алгоритма Восса, на эту ссылку ссылаются гигантские розовые буквы . Это намного легче читать, чем некоторые из предыдущих диаграмм ASCII.
Библиография по 1 / f Noise от Вентиана Ли. На это ссылаются как в источнике Петра, так и в JOS. У него потрясающее количество упоминаний о 1 / f-шуме в целом, начиная с 1918 года.

— специалист по обработке данных
источник

Есть идеи, как он пришел с этими коэффициентами фильтра? Я предполагаю, что это просто нелинейная подгонка к желаемому наклону, но мне было бы весьма интересно узнать, существует ли более конкретный алгоритм.

— нибот

Мое лучшее предположение было бы одним из методов приближения, упомянутых в его диссертации . Это отличное чтение в любом случае.

— Datageist

Вау, это настоящий документ! Спасибо за ссылку.

— нибот

Проблема, связанная с методом фильтра белого шума, заключается в том, что вы не получаете такие же фазовые зависимости величины, как у автокоррелированных временных рядов. Таким образом, если вы пытаетесь эмулировать естественные процессы, вы не должны генерировать белый шум и фильтровать его. Вы должны фактически создать автокоррелированный шум как временной ряд, т.е. текущее значение зависит от предыдущего значения + шум. Смотрите в статистике "AR" процессы. Вы можете проверить это путем генерации шума с использованием обоих методов, затем БПФ, и построить график зависимости реального от воображаемого (комплексная плоскость частотной области). Вы заметите большую разницу в шаблоне

— Paul S

Привет Пол, добро пожаловать в DSP.SE. Если вы просто заботитесь о том, как звучит шум (например, в звуке), то первостепенное значение имеет спектр амплитуд. Было бы здорово, если бы вы могли подробно изложить свои мысли в новом ответе. Я не думаю, что у нас есть что-нибудь на сайте, описывающее эту технику.

— обработке данных

Я использую алгоритм Корсини и Салетти с 1990 года: Дж. Корсини, Р. Салетти, «Генератор последовательностей шумов в спектре мощности 1 / f ^ gamma», транзакции IEEE по измерительным приборам и измерениям, 37 (4), декабрь 1988 г., 615 -619. Показатель гаммы находится между -2 и +2. Это хорошо работает для моих целей. издание

Если эта попытка добавить скриншот сработает, на рисунке ниже показан пример того, насколько хорошо работает алгоритм Корсини и Салетти (по крайней мере, как я программировал его в 1990 году). Частота дискретизации составляла 1 кГц, гамма = 1, и 1000 PSD 32k FFT были усреднены.

Это следует из моего предыдущего поста о генераторе шума Corsini и Saletti (C & S). Следующие два рисунка показывают, насколько хорошо работает генератор C & S в отношении генерации низкочастотных (гамма> 0) и высокочастотных (гамма <0) шумов. На третьем рисунке сравниваются PSD шума 1 / f генератора C & S (аналогично моему первому посту) и генератора 1 / f примера B.9, приведенные в превосходной книге профессора Орфанидиса (см. B.29, стр. 736). Все эти PSD представляют собой в среднем 1000 PSD с частотой 32 тыс. FFT. Все они односторонние и средне вычтенные. Для PSD C & S я использовал 3 полюса / десятилетие и указал 4 десятилетия (от 0,05 до 500 Гц) в качестве желаемого диапазона использования. Таким образом, генератор C & S имел n = 12 полюсных и нулевых пар. Частота дискретизации составляла 1 кГц, Найквиста - 500 Гц, а разрешение составляло чуть более 0,0305 Гц. Эд V

Как утверждают Корсини и Салетти в своей статье, , где - частота дискретизации, а - «верхний предел полосы частот, на которой мы будем генерировать выборки шума». Коэффициенты цифрового фильтра задаются их уравнениями (5.1): где c = 1. Чтобы получить PSD C & S, подобные показанным выше, пусть c = 0 и . $f_c ≥ 10f_M$ $f_c$ $f_M$

a_{i} = e x p [- 2 π 10^{(i - N) / h - γ / 2 h - c}]

$a_i = exp[-2\pi10^{(i-N)/h - \gamma/2h - c}]$

b_{i} = e x p [- 2 π 10^{(i - N) / h - c}]

$b_i = exp[-2\pi10^{(i-N)/h - c}]$

f_{M} = 0.5 f_{c}

$f_M = 0.5f_c$

— Эд V
источник

Состояние Корсини и Салетти «Этот фильтр состоит из N каскадных секций первого порядка, каждая с реальной парой полюс-ноль», а N полюсов «равномерно распределены по частотному логарифму с плотностью h полюсов на десятилетие частоты (p / г) и N нулей следуют соответственно. " Раздел «Обсуждение» в документе был сделан исключительно хорошо, поэтому не было никаких проблем, просто запрограммировав то, что они сказали сделать. Все, что у меня есть, это моя старая бумажная копия и отсканированная копия. Для PSD, приведенного выше, я использовал 3 полюса / десятилетие, и PSD вычитается из среднего значения и является односторонним. Эд V

— Эд V