Почему линейная фаза важна?

16

При соблюдении условий симметрии КИХ-фильтры имеют линейную фазу. Это не относится к БИХ-фильтрам.

Однако для каких приложений плохо применять фильтры, не обладающие этим свойством, и какой будет отрицательный эффект?

filters filter-design fir

17

Линейный фазовый фильтр сохранит форму волны сигнала или компонента входного сигнала (насколько это возможно, учитывая, что некоторые частоты будут изменены по амплитуде под действием фильтра).

Это может быть важно в нескольких областях:

когерентная обработка сигнала и демодуляция , где форма волны важна, потому что решение о пороговой величине должно быть принято по форме волны (возможно, в квадратурном пространстве и со многими пороговыми значениями, например модуляцией 128 QAM), чтобы решить, представлял ли принятый сигнал "1 "или" 0 ". Следовательно, сохранение или восстановление первоначально переданной формы волны имеет первостепенное значение, в противном случае будут приняты неправильные решения по пороговому значению, которые будут представлять небольшую ошибку в системе связи.
обработка радиолокационного сигнала , где форма волны возвращенного радиолокационного сигнала может содержать важную информацию о свойствах цели
обработка звука , когда некоторые полагают (хотя многие оспаривают важность), что «выравнивание по времени» различных компонентов сложной формы волны важно для воспроизведения или сохранения тонких качеств восприятия звука (таких как «стереоизображение» и тому подобное)

— AndyW
источник

4

(Я провел тесты прослушивания ABX и смог различить моделируемый кроссовер Линквица-Райли 8-го порядка и без него. Импульсивные звуки становятся «бодрыми», поскольку высокие частоты появляются немного раньше, чем низкие. Так что № 3 не полностью надуманно).

— эндолиты

1

Нет необходимости говорить, что свойство сохранения формы сигнала применимо только для узкополосных сигналов ... В противном случае (для общих широкополосных сигналов) фильтр (будь то линейная фаза или нет) будет изменять форму сигнала настолько, насколько импульсная характеристика сворачивается с сигналом. .

— Fat32

18

Позвольте мне добавить следующий рисунок к уже полученным отличным ответам.

Когда фильтр имеет линейную фазу, то все частоты в этом сигнале будут задерживаться на одинаковую величину во времени (как математически описано в ответе Fat32).

Любой сигнал может быть разложен (через ряд Фурье) на отдельные частотные составляющие. Когда сигнал задерживается через какой-либо канал (например, фильтр), если все эти частотные компоненты задерживаются на одинаковую величину, один и тот же сигнал (интересующий сигнал в полосе пропускания канала) будет воссоздан после задержки ,

Рассмотрим прямоугольную волну, в которой показано, что посредством расширения ряда Фурье она состоит из бесконечного числа нечетных гармонических частот.

На рисунке выше я показываю суммирование первых трех компонентов. Если все эти компоненты задерживаются на одинаковую величину, интересующая форма сигнала остается неизменной, когда эти компоненты суммируются. Однако значительное искажение групповой задержки будет иметь место, если каждый частотный компонент будет задерживаться на разную величину во времени.

Следующее может помочь дать дополнительное интуитивное понимание для тех, кто имеет некоторый РЧ или аналоговый фон.

Рассмотрим идеальную широкополосную линию задержки без потерь (например, аппроксимированную длиной коаксиального кабеля), которая может передавать широкополосные сигналы без искажений.

Передаточная функция такого кабеля показана на графике ниже, имеющего величину 1 для всех частот и отрицательно возрастающую фазу в прямой линейной зависимости от частоты. Чем длиннее кабель, тем круче уклон фазы, но во всех случаях «линейная фаза».

Это имеет смысл; фазовая задержка сигнала 1 Гц, проходящего через кабель с задержкой в 1 секунду, составит 360 °, а сигнала 2 Гц с такой же задержкой будет 720 ° и т. д.

Возвращая это в цифровой мир, является z-преобразованием задержки выборки 1 (следовательно, линии задержки) с частотной характеристикой, аналогичной показанной, только в терминах H (z); постоянная величина = 1 и фаза, которая линейно изменяется от до от f = 0 Гц до f = fs (частота дискретизации). $z^{-1}$ $0$ $-2\pi$

$\tau$ $-\omega \tau$ $\omega$

F {грамм (T - τ)} знак равно \int_{- \infty}^{\infty} грамм (T - τ) е^{J ω T} d T

$\mathscr{F}\{g(t-\tau)\} = \int_{-\infty}^{\infty}g(t-\tau)e^{j\omega t}dt$

U знак равно T - τ

$u = t - \tau$

F {грамм (U)} знак равно \int_{- \infty}^{\infty} грамм (U) е^{- J ω (U + τ)} d U

$\mathscr{F}\{g(u)\} = \int_{-\infty}^{\infty}g(u)e^{-j\omega (u+\tau)}du$

знак равно е^{- J ω τ} \int_{- \infty}^{\infty} грамм (U) е^{- J ω U} d U

$= e^{-j\omega \tau}\int_{-\infty}^{\infty}g(u)e^{-j\omega u}du$

знак равно е^{- J ω τ} грамм (J ω)

$= e^{-j\omega \tau}G(j\omega)$

— Дэн Бошен
источник

3

Дэн, твой график счастливого и грустного лица заставил меня громко рассмеяться над тем, как просто это информативно! Красиво сделано!

— Oreo

12

Просто чтобы добавить к тому, что уже было сказано, вы можете увидеть это интуитивно, посмотрев на следующую синусоиду с монотонно возрастающей частотой.

Сдвиг этого сигнала вправо или влево изменит его фазу. Но учтите также, что изменение фазы будет больше для более высоких частот и меньше для более низких частот. Или, другими словами, фаза увеличивается линейно с частотой. Таким образом, постоянный временной сдвиг соответствует линейному изменению фазы в частотной области.

— orodbhen
источник

Лучший ответ IMO.

— Феликс Краззолара

11

τ (ω) знак равно - \frac{d φ (ω)}{d ω}

$\tau(\omega) = - \frac {d\phi(\omega)}{d\omega}$

x [n]

$x[n]$

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$

$n_0$ $x[n]$ $y[n] = K x[n-n_0]$ $K$ $x[n]$ $\omega$ $K(w)$

Тогда как влияет фильтр с нелинейной фазой (или частотно-зависимой групповой задержкой) на входной сигнал? Простым примером будет сложный входной сигнал, рассматриваемый как сумма множества волновых пакетов на разных центральных частотах. После фильтрации каждый пакет с определенной центральной частотой будет смещаться (задерживаться) по-разному из-за частотно-зависимой групповой задержки. И это приведет к изменению временного порядка (или пространственного порядка) этих волновых пакетов, иногда радикально, в зависимости от того, насколько нелинейной является фаза, которая называется дисперсиейв области терминальной коммуникации. Не только составная форма волны, но также и некоторые порядки событий могут быть потеряны. Этот тип дисперсионных каналов имеет серьезные последствия, такие как ISI (межсимвольные помехи), для передаваемых данных.

Следовательно, это свойство линейных фазовых фильтров также известно как свойство сохранения формы сигнала , которое применимо, в частности, к узкополосным сигналам. Примером, где форма волны важна, кроме ISI, как упомянуто выше, является обработка изображений, где информация о фазе преобразования Фурье имеет первостепенное значение по сравнению с величиной преобразования Фурье для разборчивости изображения. Однако этого нельзя сказать о восприятии звуковых сигналов из-за разного рода чувствительности уха к раздражителю.

— Fat32
источник

Что означает обобщенная линейная фаза в этом контексте?

1

@ 0MW Полагаю, это означает, что постоянный фазовый сдвиг также допустим, как в преобразовании Гильберта .

— Олли Нимитало

10

Ответ на этот вопрос уже был четко объяснен в предыдущих ответах. Тем не менее, я хотел бы попытаться представить математическую интерпретацию того же

$H(w)$

$e^{jw_{0}t}$ $H(w_{0})e^{jw_{0}t}$

$H(w_{0})$ $arg(H(w))$ $|H(w)|$

a р грамм (ЧАС (вес)) знак равно К вес

$arg(H(w)) = Kw$

K

$K$

Если фаза является линейной, выход системы для входа будет $e^{jw_{0}t}$

Y (T) знак равно | ЧАС (вес) | * е^{J {вес}_{0} T + J К {вес}_{0}}

$y(t) = |H(w)|*e^{jw_{0}t + jKw_{0}}$

знак равно | ЧАС (вес) | * е^{J {вес}_{0} (T + К)}

$= |H(w)|*e^{jw_{0}(t + K)}$

Таким образом, если фаза линейна, то все частотные составляющие сигнала будут подвергаться одинаковой задержке во временной области, что приводит к сохранению формы.

— SakSath
источник

1

Я просто положу резюме для этих замечательных ответов, упомянутых выше:

сдвиг сигнала во временной области приведет к сдвигу фаз, пропорциональному частоте, поэтому f (t + dt) будет F (f) e (j2πfdt)
Когда фильтр с фазовой характеристикой лайнера, все частоты входного сигнала к этому фильтру будут сдвинуты на одинаковую величину во временной области, так что это приведет к возможности воссоздания входного сигнала.

— Юсеф Рафаат
источник