Почему система LTI не может генерировать какие-либо новые частоты?

9

Почему означает, что система LTI не может генерировать какие-либо новые частоты? $Y (\omega) = X(\omega)H(\omega)$
Почему если система генерирует новые частоты, то это не LTI?

convolution time-frequency

— USER
источник

15

Одной из отличительных особенностей систем LTI является то, что они не могут генерировать какие-либо новые частоты, которых еще нет на их входах. Обратите внимание, что в этом контексте частота относится к сигналам типа или которые имеют бесконечную длительность и также называются собственными функциями LTI системы (специально для комплексной экспоненциальной только) и чьи КТ-преобразования Фурье выражаются импульсными функциями в частотной области как или $x(t)=e^{j\Omega_0 t}$ $\cos(\Omega_0 t)$ $X(\Omega) =2\pi \delta (\Omega - \Omega_0)$ $X(\Omega)=\pi \delta (\Omega - \Omega_0) + \pi \delta (\Omega + \Omega_0)$ repectively.

Один из способов понять, почему это так, можно получить, наблюдая CTFT на выходе , который задается хорошо известным соотношением только в том случае, если система является LTI (а также фактически устойчивой , так что существует). $Y(\omega)$ $y(t)$ $Y(\omega) = H(\omega)X(\omega)$ $H(e^{j \omega})$

(т. е. выполняется только при наличии импульсного отклика и будет существовать только при наличии системы LTI.)

y (t) = \int_{- \infty}^{\infty} x (τ) h (t - τ) d τ ⟷ Y (ω) = X (ω) H (ω),

$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau \longleftrightarrow Y(\omega)=X(\omega)H(\omega),$

h (t)

$h(t)$

Если немного подумать, руководствуясь простым графическим и используя вышеупомянутое свойство умножения, можно увидеть, что частотная область поддержки (набор частот, для которых не равен нулю) выходного сигнала задается пересечением областей поддержки и входов и частотной характеристики системы LTI: $R_y$ $Y(\omega)$ $Y(\omega)$ $R_x$ $R_h$ $X(\omega)$ $H(\omega)$

R_{y} = R_{x} \cap R_{h}

$R_y = R_x \cap R_h$

И из множества алгебры мы знаем , что если , то и . То есть пересечение всегда меньше или эквивалентно тому, что пересекается. Следовательно, область поддержки будет меньше или максимально равна поддержке . Следовательно, никаких новых частот на выходе не будет. $A = B \cap C$ $A \subset B$ $A \subset C$ $Y(\omega)$ $X(\omega)$

Так как это свойство является необходимым условием для того, чтобы быть системой LTI , любая система, которая не в состоянии им обладать, следовательно, не может быть LTI.

— Fat32
источник

9

Вы можете сделать простой алгебраический аргумент, учитывая предпосылку, которую вы предоставили. Если:

Y (ω) = X (ω) H (ω)

$Y(\omega) = X(\omega) H(\omega)$

где - спектр входного сигнала, а ) - частотная характеристика системы, тогда очевидно, что если во входном сигнале есть некоторый для которого тогда ; не существует множителя который вы могли бы умножиться, чтобы получить ненулевое значение. $X(\omega)$ $H(\omega$ $\omega$ $X(\omega) = 0$ $Y(\omega) = 0$ $H(\omega)$

С учетом сказанного, установление истинности предпосылки, с которой я начал выше для систем LTI, требует некоторой работы. Однако, если мы предположим, что это правда, то тот факт, что система LTI не может вводить какие-либо новые частотные компоненты на свой выход, следует непосредственно.

— Джейсон Р
источник

доказательство будет состоять в том, чтобы показать, что для любого достаточно хорошего поведения сигнала преобразование Фурье является обратимым, а FT и его обратное являются линейными. Каждый сигнал с частотой достаточно хорошо себя ведет.

— Маркус Мюллер

3

Почему означает, что система LTI не может генерировать какие-либо новые частоты? $Y(ω)=X(ω)H(ω)$

Если определенная частота отсутствует в наших входных данных, . Поскольку 0 подчиняется мультипликативному тождеству , . Таким образом, частота не присутствует в выходном сигнале. $\omega_\text{abs}$ $X(\omega_\text{abs}) = 0$ $\forall x\in \mathbb{R},~ 0 \cdot x = 0$ $Y(\omega_\text{abs}) = 0$ $\omega_\text{abs}$

Почему если система генерирует новые частоты, то это не LTI?

Допустим, наш ввод . Тогда, если мы предположим, что наша система может генерировать новые частоты, можно получить выходные данные . Поскольку мы не можем найти константы такие, что , наша система не является LTI. $x(t) = \cos(t)$ $y(t) = \cos(2\cdot t)$ $c_1, c_2$ $y(t) = c_1 \cos(t - c_2)$

— Скотт
источник

Разве для проверки LTI используется только c1, а не c2?

— ПОЛЬЗОВАТЕЛЬ

1

я бы сказал, что первый пункт, который заключается в том, что вы не можете получить что-то ненулевое, умножая ноль на что-либо, это краткий ответ.

— Роберт Бристоу-Джонсон

c1 используется для линейности, c2 используется для сдвига во времени. У нас могла бы быть система LTI, которая задерживает все на 1 единицу времени.

— Скотт

1

Система LTI диагонализирована чистыми частотами . Синусы / косинусы являются собственными векторами линейной системы. Другими словами, любой отдельный ненулевой вход синуса или косинуса (или комплексного цисоида) имеет выход синуса или косинуса точно такой же частоты (но выходная амплитуда может исчезнуть).

Единственное, что может измениться - это их амплитуда или фаза. Следовательно, если у вас нет синуса с заданной частотой на входе, вы ничего не получите (ноль) с этой частотой на выходе.

На второй вопрос отвечает противопоставление или регулярные фальси: если истинно, то и . Если система LTI, она не генерирует новые частоты. Если система генерирует новые частоты, это не LTI. $A\implies B$ $\overline{B}\implies \overline{A}$

— Лоран Дюваль
источник